混合式教学：促进数学深度学习*——以“用二分法求方程的近似解”的教学设计为例

一、基本情况

1.授课背景。

“混合式教学”是一种教育形式，该形式下的学习具有以下特点：（1）部分学习活动在线进行，可以控制学习的时间、地点、途径，也可以控制进度；（2）部分学习活动在教室中进行；（3）结合个人在某一门课程中的学习状态，来获得一种综合性的学习体验。它是集体学习与个别学习的混合，是线上学习和线下学习的混合，是一种促进深度学习的教学方式。笔者所在学校具有网上自主学习的环境和资源，笔者在一次公开课中利用这些资源讲授了“用二分法求方程的近似解”一课。现将过程记录如下。

2.教材分析。

本课课题为“用二分法求方程的近似解”（苏教版高中数学第三章第四节）。本课按照“问题情境→数学活动→意义建构→数学应用→回顾反思”的思路设计，在解决问题过程中逐步建构、应用数学知识。学生在前面一节已经学习了函数零点的概念和零点存在性定理，本课以数学问题情境引入主题，用生活问题情境引入二分思想，通过问题串，开展师生互动，生生互动，从而解决一般方程的解的估算问题。在解决问题的过程中利用观察、比较、分析、综合、归纳、抽象等一般的科学研究方法，让学生感悟等价转化、函数与方程、数形结合、分类讨论以及无限逼近的数学思想，体会数学的本质。

二、混合式教学的实施流程

混合式教学中教师要为学生的课前、课中、课后学习提供丰富的网络学习资源，个性化的混合式学习机制。教学流程如下：

课前学习设置两个微课：一是函数与方程概念复习微课，帮助学生课前复习；二是情境式微课，从数学情境和生活情境角度思考本课知识。课堂教学中设置两个微课：一是概念教学微课帮助学生内化概念；二是典型例题反思微课帮助学生更好地反思。课后学习中设置两类微课：一是解题教学微课解答数学练习中的问题，学生根据学情需要选择观看视频，实现差异化教学；二是录制以中外历史上的方程求解为课题的数学文化微课，通过方程求解数学史料的简要介绍，让学生接受数学文化的熏陶，激发学生学习的积极性和主动性。

当学生对教师提供的学习资源存在认知困难时，他们可以借助实时交互平台向教师寻求帮助，亦可以通过学习平台发布话题，寻求其他同学参与话题的讨论进而获得问题的解决。笔者采用极域网络系统发布学习资料，搭建学习平台，教师和学生都可以通过平台提出问题和解决问题，用课堂直播系统实现师生互动，生生互动，帮助学生深度理解数学。

三、教学过程

1.课前学习。

微课1：图象交点与代数处理。

（设计意图：复习函数与方程概念，并构造两个函数，引导学生观察它们的图象交点个数及交点的位置，启发学生从对图形关系的探索，转化为感悟应用零点存在性定理，求零点个数及所在区间的代数方法。）

微课2：猜数字。

利用网上教学管理平台，开展小组线上或线下猜数字活动：采用取中间值的方法，比如在0与1000之间，先猜500，这时它可能是正确答案，如果不是，就根据对方的提示，可以缩小猜的范围；倘若500大了，那么数就应该在1～500之间，然后再缩小范围猜中间的250这一数字，以此类推最终猜出这个数字。

（设计意图：利用生活情境引出二分思想。通过以上活动，引导学生感悟，并抽象出二分思想，培养学生数学抽象的能力；应用二分思想解决数学问题，感悟数学与生活的紧密联系，引导学生从生活走向数学。）

2.课堂教学。

（1）问题引领

求方程lg x=3-x的近似解。

问题：①你能否利用数形结合的方法对方程lg x=3-x的解作一个估算，找到它的大致范围？②方程lg x=3-x在（1，3）上有解吗？你能否给出证明？③方程lg x=3-x有几解？你能缩小解所在的范围吗？

（设计意图：线下个别学习，以数学问题导入本课。通过一次方程与二次方程的解的分布，促进学生深入思考一般方程的求解问题。以问题链引导学生独立思考，自主学习，让思维走向深入。）

（2）数学活动

活动形式：小组合作学习，利用图形计算器进行数据处理；教师利用网上教学管理平台，直播不同小组学生的活动过程；师生互动，生生互动开展探究活动交流，将活动成果实时反馈到每个学生的电脑桌面，并作及时的评价。

微课3：二分法求方程lg x=3-x的近似解（精确到0.1）。

（设计意图：改进教学方式，合理使用自主学习、合作交流等多种学习方式，组织学生课堂学习。遵循“问题链—数学思考—问题解决—抽象出一般方法”这样的教学流程，层层递进，循循善诱，以提升学生独立思考、数据整理、优化算法的能力，促进数学的深度学习。）

（3）数学应用

例题：求方程x3=3x－1的近似解。（精确到0.1，可利用计算器）

微课4：解题方法赏析。

方法一：根据函数y=x3和y=3x-1图象判断它们有三个交点，分别记为 x1，x2，x3且 x1∈（-2，-1），x2∈（0，1），x3∈（1，2），构造函数 f（x）=x3-3x+1，利用二分法逐步算出结果。

方法二：利用图形计算器作出y=x3和y=3x-1的图象，数据分析图象交点横坐标，可以求出对应交点。或者作出函数f（x）=x3-3x+1图象，分析其与x轴交点的横坐标，接下来引导学生利用二分法代数证明以上结论。

（设计意图：用图形计算器探究方程解的情况，找出问题的解，再代数推理验证结论。图形计算器的使用旨在数据处理，让学生理解二分法的全过程，培养学生的直观想象能力，掌握求近似解的数学方法。）

3.课后学习。

微课5：数学史上的方程求解。

（设计意图：通过求解方程的数学史料，简要介绍高次代数方程解的探索历程，让学生了解高于4次的代数方程不存在求根公式这一结论，进而体会寻求估算高次多项式函数及其他函数零点的算法的必要性。让学生接受数学文化的熏陶，激发学生学习的积极性和主动性。）

四、教学反思

1.混合式教学促进学习方式的改变。

信息技术在教学中的优势主要表现在：快捷的计算功能、丰富的图形呈现与制作功能、大数据的处理功能，提供交互式的学习和研究环境等方面。将教学内容和信息技术合理整合是我们需要思考的问题。

混合式教学中利用现代信息技术线上线下学习，打破了传统课堂中教师一言堂的状态，教师成了资源建设者，学生学习的合作者，调控知识生成的引导者。学生不仅可以解决自身的学习困惑，还可以通过学习平台参与话题的讨论帮助他人解决问题。混合式学习方式能帮助学生更好地认识和理解数学，增强学生对数学学习的兴趣。

2.混合式教学让数学学科核心素养生根。

数学学科核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的思维品质与关键能力。数学教学只有遵循数学问题提出的内在逻辑、数学问题解决的内在逻辑和数学问题拓展的内在逻辑，才能有效地引导和促进学生学会数学地、有条理地、理性地思考。

本课遵循学生认知规律，引导学生从生活情境中抽象出二分法的思想，借助图形计算器，促进学生完整地经历二分法的运算、推理、猜想、判断、调控的数学思维过程，达到了促进学生深度学习，培养数学核心素养的目的。