Ginzburg-Landau 方程组弱解的整体吸引子

熊春燕, 陈淑红

（闽南师范大学数学与统计学院，福建漳州363000）

本文主要研究Feshbach 共振附近BCS-BEC 跨越中的Ginzburg-Landau 理论：

方程组 （1）-（4） 描述的是费米子-玻色子模型中Feshbach 共振附近费米子气体超流中的BCS-BEC跨越现象.

费米子-玻色子模型由于它的特殊性，吸引了广大学者的关注和研究.1987 年，桑建平等[1]对相互作用的玻色子-费米子模型进行了微观研究， 然后给出了与试验符合很好的EU 基态转动态的理论计算谱.1992 年，人们发现了 BCS-BEC 跨越现象，Drechsler M 等[2]和 Sa de Melo C A R 等[3]对费米子-玻色子模型中Feshbach 共振附近费米子气体超流进行研究.Ginzburg-Landau 理论对于费米子气体超流研究起了很重要的作用，黄琨[4]采用路经积分方法建立了描述势阱中的费米子气体在整个BCS-BEC 跨越的不依赖于时间的Ginzburg-Landau 理论.Machida 和Koyama[5]从费米子-玻色子模型出发，对Feshbach 共振附近的超流体费米子气体构造了一个依赖时间的Ginzburg-Landau 理论.证明了与时间相关的Ginzburg-Landau 方程（TDGL）中的耦合系除BEC 极限外是复数.复杂的TDGL 方程既描述了阻尼，又描述了传播动力学，从而在Feshbach 共振附近产生了非常丰富的现象.关于它的数学框架，在BCS-BEC 跨越附近考虑了超流体费米子气体的TDGL 方程.陈淑红[6-8]，蓝丽红[9]对该方程组柯西问题、稳态解、古典解及整体解的存在性等进行研究.但该方程组胡整体吸引子未被讨论，故本文考虑研究该方程组弱解的吸引子并得到定理1.

定理1 设（△，φ）为初边值问题(1)-(4)的整体弱解U＞0，b0，c＞0，m＞0，，g＞0，且 N=3，△0（x）∈H1,2（）, φ0（x）∈H1,2（）, 设△＋gφ=g1＋ig2，φ=φ1＋iφ2，则当弱解（△，φ）满足下列三个条件之一时：1）g1=φ1=0； 2）g2=φ2=0； 3），且初边值问题(1)-(4)存在整体吸引子A,且算子A 满足：

(a)StA=A 对于 t∈R+成立；

这里 E=H1,2（）×H1,2（），｛St，t0｝是由方程(1)-(4)产生的半群算子,

1 引理

引理1[10]若函数μ 满足

引理 2[10]若 1＜p＜∞，对任意函数，有如下等式成立则对边界的外法向量n，，有

2 先验估计

这一部分，我们主要建立初边值问题（1）-（4）的先验估计.首先，我们将方程组（1）-（4）改写为（5）-（8），即

现在我们考虑（5）-（8）式的先验估计.首先,我们来证明弱解的L2-模有界，即

由边值条件（8），poincare'不等式以及Young 不等式得

由已知条件和Gronwall 不等式得:

可推出

定理3 在定理2 的条件下， 令 poincare' 系数则存在常数 c3＜0，c4＞0，满足

由引理2 可得

结合(12)(13)式和Young 不等式以及Poincare 不等式，

从而（14）可转化为

由已知条件和Gronwall 不等式可知

结合（15）（17）可得

由Gronwall 不等式可知

则可推出

定理4 假设 N=3,在定理3 的条件下,问题(5)-(8)的解满足

证明 由定理2、3 可得

当N=3 时，利用Sobolev 嵌入定理并结合poincare'不等式，得

由定理 3 及(20)可知

其中 c11是与 t 无关的常数.

在(22)式中，结合(20)(21)(23)以及定理2 和定理3 的结果取充分小,则

其中 c13是与 t 无关的常数，即

由已知条件和Gronwall 不等式得

3 整体吸引子的存在性

引理 8[11]让 E 是一个 Banach 空间， u 为未知函数，且 u=u（t），｛St，t0｝是一个半群算子， St：E→E，St·S =St+，S0=I，其中I 为恒等算子，而且半群算子St满足下列条件：

1）半群算子St在E 中一致有界，即对一切R0 存在常数 C（R）,使得当时，

2）在E 中存在有界吸收集合B0,即对任意有界吸收集合BE, 存在 T，使得当 tT 时，有 StBB0.

3）当 t＞0 时，St为全连续算子，则半群St具有紧的整体吸引子.

最后我们利用引理8，结合定理2-4 证明本文中的主要结论定理1.

定理 1 的证明 在定理 1 的假设条件下，方程满足（1）-（4）存在半群算子｛St，t0｝，因此建立Banach空间且 St：E→E.利用定理2-3 结论并假设BE 属于球可得

其中 K1，K2是常数.意味着St在 E 中一致有界，则引理8 中的条件1)满足.

其次，从定理2-4 的结果，我们可以得到

最后，当 t＞0 时,

故 t＞0 时,St为全连续算子，引理8 中条件3)满足.

综上所述，半群算子St具有紧的整体吸引子定理得证.