基于大涡模拟下的三种足球空气动力学分析及运动轨迹探讨

□ 张旋（中国社会科学院大学体育教研部 北京 100000）

1、前言

1.1、概述

对足球进行运动空气动力学分析是国外帮助球队获得比赛胜利，帮助球员改进训练水平的一项重要工作，但在我国该方面的研究人才甚少，绝大多数实验室在采用风洞试验对部分运动项目进行相关研究，其成本较高并不能有效普及于绝大多数运动领域。因此本文通过计算仿真模拟方式对足球相关物理量和飞行轨迹进行量化分析，旨在提供一种新的分析方法并提供足球相关数据予后续相关工作的研究者。

1.2、研究目的与任务

（1）研究目的。

通过LES计算模拟仿真获得不同足球空气动力学特性，并借此对不同足球沟壑类型及其变化造成的物理量变化进行分析，通过对比试验量化足球飞行轨迹。

（2）研究任务。

①研究模型及部分方程研究；

②足球沟壑类型对升阻力的影响；

③三维涡量云图对比分析；

④不同足球偏移轨迹的研究。

2、研究方法

2.1、文献资料法

查阅1980-2018年相关国内外文献研究300余篇，对湍流模型及空气动力学主要问题提取宝贵经验与数据。

2.2、专家访谈法

通过与国内外专家的学习论证，确认操作方案的可行性和理论依据的标准。

2.3、数理统计法

通过数理统计方法对后处理中出现的物理量进行定量分析，对部分数据进行散点图和动画处理。

2.4、模拟法

建立实验模型，设置计算机工况，确认相关理论，根据三者相互关系，进行物理与数学模拟。

3、结果与分析

3.1、模型的建立及部分方程方案

（1）模型的建立。

本文采用三种不同足球模型如图1所示，其表面沟壑位置不同造成不同物理量及飞行轨迹变化，足球沟壑采用1mm圆角以真实还原足球表征，采用直径0.22m国际标准足球，表皮粗糙程度不在本文模拟范围之内，因此与实际情况会产生部分误差，经验证其误差值极小可以忽略不计，足球远场分别为设为5倍足球直径和10倍足球直径。

（2）网格划分方案及方程。

本文采用混合网格以减少网格数量，增加质量并提高运算速度与精度，如图2所示为标准足球网格划分方案图，由于利用LES大涡模拟方法是通过低通滤波将流动分为大小两种尺度的涡，大尺度涡使用Navier-Stokes方程进行求解，小尺度涡使用WALE亚格子尺度模型进行方程组的封闭且由于来流速度设定为22m/s在计算中未能引起流体密度的足够变化，因此流场属于不可压缩。

同时由于采用LES大涡模拟，必须要求网格能够满足求解粘性影响区域的流动，故本文采用Y+=1进行计算第一层网格高度为1e-05m，利用牛顿迭代求解公式如下：

（1）Cf=τq/ρu2（2）1/Cf 0.5=1.7+4.15×log10(Re×Cf)（3）

为保证计算精度采用增长率1.15，15层边界层，同时FLUENT采用双精度模拟。

图2 标准足球混合网格剖面图

3.2、不同足球类型的阻力变化及其应用

（1）足球阻力系数及其对电梯球飞行速度的影响。

图3 不同足球阻力系数变化折线图

如图3所示为普通足球及2015年生产的团队之星足球、2016年生产的C4D NIKE顶级比赛用球在雷诺数为Re≈3.9×105时的阻力系数图，平均阻力系数分别为0.1276、0.1406和0.1150。在以往实验中研究人员已经发现对于光滑圆球在低速时受到的阻力更大，而在高速时受到的阻力更小，足球以22m/s前进时并未达到高速要求，同时可判断其表面粗糙程度。因此实验中的三种足球以C4D NIKE顶级足球表面粗糙程度最小，随后依次为普通足球和团队之星足球。

而足球电梯球的防守难度主要由两种情况构成，其一为足球飞行速度、其二为足球变化弧度，而阻力系数的大小将决定足球整体速度变化，相对于实验的三种足球而言，粗糙足球表面边界层提前分离后由于卡门涡街效应会降低足球速度，因此可以断定C4D足球飞行速度最快较难防守，而团队之星足球则飞行速度最慢易于防守。

此外，将足球表面缝隙加深也会产生不同变化，如普通足球表面沟壑加深至2mm圆角，则其阻力系数在相同雷诺数下有所升高，即表面沟壑深度直接影响粗糙程度，造成粗糙度的增加，其在较低出脚速度时足球飞行速度与其成正比同样速度较慢。

（2）足球涡脱落现象对阻力系数变化的验证。

为进一步验证以上三种足球阻力系数变化具有可信性，我们利用Q准则对三种足球分别作出三维涡量图，根据涡脱落速度判断阻力系数的大小，其定义公式如下：

Q=-1/2×(Velocity u.Gradient X2+Velocity v.Gradient Y2+Velocity w.Gradient Z2)-Velocity u.Gradient Y×Velocity v.Gradient X×Velocity w.Gradient Z

如图4所示为为Q=0.001时的三种足球三维涡量图及其流线图，可以清晰的发现团队之星足球较普通足球、C4D nike涡脱落速度更快，而涡脱落将造成边界层提前分离，进而使不同位置压差随之增大，造成阻力系数的增大由此可证明以上平均阻力系数的变化。

图4 足球三维涡量图及流线图

3.3、足球电梯球弧度变化规律及下坠时间节点分析

图5 不同足球升力系数折线图

在足球飞行过程中，存在一种特殊飞行轨迹，即球不按照平滑曲线进行运转，而是飘忽不定，其肉眼观察似乎并不符合物理规律。事实上，从圆柱绕流的类似问题早已发现，对于平滑物体在一定雷诺数下通过斯特劳哈尔数公式St=fD/v可以得到涡脱落频率其取值为0.14-0.27之间，同时有研究者发现在Re＞2×105以上的情况，St数和Re的相关度很低。对于足球飞行而言，其Re远高于2×105，也因此足球产生特殊飞行轨迹可以猜测为与球体表面粗糙程度相关，而当雷诺数为3×105-3×106时，有规则的涡街便不再存在，因此根据计算足球速度一般位于此雷诺数区间，涡脱落频率不再为常数，造成足球运动轨迹的不规则变化。

如图5所示为三种不同足球升力系数折线图，在低速下，C4D平均升力系数为0.0164，普通足球平均升力系数0.0061，团队之星平均升力系数0.078，由于足球表面粗糙程度造成的升力不规则变化进而出现特殊飞行轨迹且观察曲线变化规律可知，普通足球高度飞行轨迹最为飘忽不定，其次为C4D NIKE顶级足球，而团队之星足球在高度上飞行轨迹更为规律，这也是飘球的产生机理。

同时通过对升力进行傅里叶变换，可以观察其频率分布，而频率分布越接近某一具体值说明卡门涡街效应越明显，规则的卡门涡街将造成足球在某一时间节点产生急速下坠，以便对电梯球进行预判。

图6 升力系数傅里叶变换

如图6所示分别为普通足球、C4D NIKE顶级足球和团队之星足球，其中频率分布代表了非对称涡脱落的分布，而越接近周期性涡脱落则由涡脱落造成的球的震荡导致足球产生快速下坠愈加明显，因此普通足球电梯球即出现最大拐点时间最快，其次为C4D NIKE顶级足球和团队之星足球。

再者在不考虑飞行过程中足球自转速度带来的影响，即假设足球始终沿Y轴方向飞行时，以22m/s给定足球初速度，则分别计算足球飞行高度和侧向位移幅度如图7所示：

图7 足球飞行轨迹偏移位置图

图中分别为标准足球、C4D NIKE足球和团队之星足球的不同方向偏移轨，由图可知足球沿Y方向飞行受到侧向力影响所造成的偏移分别为 1.06m至 -0.79m、0.1m至 -0.8m、0.13m至 -0.24m；飞行高度偏离值分别为 0.85m至 -0.74m、0.1m至-0.4m、0.04m至-0.89m、由侧向偏移值即香蕉球最大弧度以普通足球居首，C4D NIKE顶级足球次之，团队之星足球弧度最小；且由升力造成的电梯球以团队之星弧度最大，普通足球次之，C4D NIKE顶级足球最小。且其飞行44m时侧向弧线最大拐点分别出现在距球31.9m、13.64m和13.42m；而高度方向最大弧线拐点分别出现在18.04m、24.2m和39.82m与3.3图6所得结果相同。

在使用密度基求解器对空气湿度和压力变化时普通足球升阻力的变化趋势进行研究发现，空气湿度和压力的增加将使球速降低，其平均升阻力系数由于相对粗糙程度的增加而有所降低，也就造成了足球的电梯球和香蕉球产生弧线逐步变小，但是由于仿真模拟的误差及足球本身速度较慢以及大气压的局限性，其并不会产生足够的肉眼可见的弯曲变化，浮动值极小，在此仅做参考。

4、结论

（1）C4D NIKE顶级足球表面粗糙程度最小，随后依次为普通足球和团队之星足球，而粗糙程度变化导致足球表面边界层分离提前，导致压差变化，进而影响到球飞行速度。因此从飞行速度上可以断定C4D足球飞行速度最快较难防守，而团队之星足球则飞行速度最慢易于防守。同时足球表面沟壑深度会增大足球粗糙程度进而使足球在低速下产生较大阻力，减慢球体飞行速度；

（2）由于足球在一定雷诺数下飞行造成涡脱落频率不再为常数，致使足球运动轨迹的不规则变化是飘球产生的主要机理。根据升力变化可知普通足球高度飞行轨迹最为飘忽不定，其次为C4D NIKE顶级足球，而团队之星足球在高度上飞行轨迹更为规律；

（3）通过傅里叶变换和对速度对时间进行积分获得的位移量可较为清晰的判断足球运动轨迹和规律，由此判断出普通足球香蕉球弧度最大，团队之星足球电梯球弧度最大，而C4D NIKE顶级足球速度最快，直线威胁最大；

（4）空气湿度和压力的增加将使球速降低，其平均升阻力系数由于相对粗糙程度的增加而有所降低，致使足球电梯球和香蕉球均不易产生更大弧度，但是由于仿真误差的存在及其变化量较小，在此仅做参考。