一种稳健自适应波束形成算法

沈肖雅，葛俊祥，王 奇

(1.南京信息工程大学 江苏省气象探测与信息处理重点实验室， 南京 210044；2.南京信息工程大学， 南京 210044)

0 引 言

自适应波束形成又称为空域自适应滤波，是阵列信号处理的重要内容，它在雷达、通信、射电天文以及医学影像等领域有着广泛应用[1-4]。传统自适应波束形成在理想情况下能够获得良好性能，但当阵列模型存在失配导致导向矢量无法精确获得时，波束形成器性能下降，尤其是训练数据中包含期望信号时，期望信号有可能被当成干扰，从而出现信号自消现象[5]。同时，若波束形成器在干扰方向形成的零陷极窄，这造成干扰必须完全对准零陷位置才能被抑制，然而实际中可能出现干扰移动，天线接收平台的振动等情况，导致干扰偏离零陷位置，严重情况下，常规方法可能完全失效[6]。

目前，针对阵列模型失配提出的稳健算法主要为：对角加载算法、特征空间算法、不确定集约束算法以及协方差矩阵重构算法。对角加载波束形成算法[7](Diagnoal Loading，DL)是在协方差矩阵对角元素上添一个加载因子，从而抑制权向量中的噪声，但最优加载因子的不易确定[8-9]。文献[10]采用投影波束形成方法是对特征空间算法的进一步改善，其将失配的导向矢量向信号加干扰子空间进行投影，将投影分量作为修正后的导向矢量，从而提高了导向矢量失配的鲁棒性。以上两类算法是对采样协方差矩阵进行了改进，而采用不确定集约束的稳健波束形成方法[11-12]可看成是对导向矢量的改进，如最典型的稳健Capon波束形成[13](Robust Capon Beamformer，RCB)算法，但由于仍没有将期望信号剔除，在高信噪比和导向矢量失配角度较大[14]时，算法性能下降。为了解决协方差矩阵中包含期望信号的问题，文献[15]通过Capon空间谱估计，对除去期望信号的协方差矩阵重构，因此能够降低期望信号失配对算法的影响，文献[15-18]是基于协方差矩阵重构的一些不同的波束形成算法。以上是对阵列模型存在失配提出的一些方法，而针对干扰位置扰动的问题通常采用零陷加宽的方法，从而实现对扰动干扰的抑制。Mailloux[19]和 Zatman[20]都对零陷加宽问题进行了研究，且各自独立提出了解决方法。Gershman[21]提出了在干扰方向施加导数约束来加宽干扰零陷的方法，但是该方法运算量大，零陷加宽不明显。李荣峰[22]从干扰位置变化的角度出发，实现了干扰在正态分布特性时的零陷展宽，而当干扰模型为均匀分布时与 Zatman的方法等同。王金博[23]采用了基于最小均方误差准则对权值进行二次约束得到新的权值，进而实现了零陷加宽。

综上可知，如何提高系统的抗失配和抗运动干扰的能力是亟需解决的问题，而本文针对以上问题，采用重构协方差矩阵和二次约束的方法来提高算法的稳健性。

1 问题描述

1.1 阵列信号模型

假设入射信号均为相互独立的远场窄带信号，接收端是一个M元均匀线列阵，阵元间距d为半波长，设定一个期望信号从θ0方向入射和P个方向为θj，j=1，2，…，p的干扰信号，且M>P+1，则阵列接收信号可表示为：

X(k)=AS(k)+n(k)=

xs(k)+xi(k)+n(k)

(1)

其中，A=[a(θ0),a(θ1),…,a(θp)]T为M×(P+1)的阵列流型矩阵，S(k)为信号复包络向量，a(θ0)为期望信号的导向矢量，a(θj)为干扰信号的导向矢量，n(k)为复高斯白噪声且与入射信号互不相关。

定义符号‖H为矩阵共轭转置，阵列天线的接收信号协方差矩阵为：

R=E[x(k)x(k)H]=Rs+Ri+n=

(2)

根据最大化输出信干噪比(MSINR)准则，即：

(3)

标准Capon波束形成[1]问题可以表示成如下最优化问题：

minwHRi+nw

(4a)

s.t.wHa(θ0)=1

(4b)

由此可得最优权值为：

(5)

(6)

1.2 零陷展宽技术

Mailloux[19]和Zatman[20]分别提出了一种针对移动强干扰的零陷展宽方法。虽然两种方法本质上是相同的，但Zatman方法中的噪声项没有受到影响，因此该方法优于Mailloux的方法。Guerci[24]提出的Mailloux-Zatman方法是对采样协方差矩阵加权实现，得到的增强协方差矩阵可表示为：

RMZ=R·TMZ

(7)

其中，符号·表示Hadamard乘积，TMZ为一般实正定矩阵，而且它的第mn个元素为：

(8)

其中，Δ为零陷宽度。此方法由于采用多个虚拟干扰源代替原本的单个干扰，因为每个虚拟干扰源的功率较小，将导致零陷深度变浅，旁瓣升高。

2 本文提出的算法

2.1 干扰加噪声协方差矩阵重构

(9)

(10)

2.2 期望导向矢量估计

为了提高算法抗导向矢量失配误差的鲁棒性，采用了基于MUSIC谱算法[25]来获取信号的入射方向，由于信号与噪声相互独立，数据协方差矩阵可以分解为相互正交的信号子空间和噪声子空间，则采样协方差矩阵的子空间形式如下：

(11)

aH(θ)UN=0

(12)

所以，MUSIC算法的谱估计公式为：

(13)

由此利用MUSIC谱估计法重构期望信号协方差矩阵：

(14)

(15)

在实际应用中，对于一维导向矢量有下式成立：

aH(θ)a(θ)=M

(16)

那么估计的期望导向矢量为：

(17)

可得重构后新的权值公式：

(18)

2.3 基于二次约束的零陷展宽

本文采用了对输出权值与最优权值之差平方最小的二次约束和对干扰输出功率进行参数约束的方法，实现了干扰零陷加宽并且宽度可调。

要使wnew尽可能的接近最优权值W，对自适应权值二次约束，可得约束方程如下：

minf(W)=‖W-wnew‖2

(19a)

(19b)

其中，ε为大于0的约束参数。对于式 (19)的最优化问题，可以利用Lagrange乘数法进行求解，可得：

(20)

其中，λ为Lagrange乘数，文献[26]中对λ进行了限制，即要求λ≥0。其实对于上面的约束最优化问题，λ可以取任意实数，即λ∈R，在此没有对其进行限制。

对式(20)关于W求导：

(21)

令式(21)等于零，可以得到W的解为：

(22)

2.4 最优Lagrange乘数的求解

(23)

(24)

(25)

(26)

为了便于分析，令

(27)

(28)

进行简化，可得：

(29)

(30)

此处的算法步骤总结如下：

Step3 确定最优λ，代入式(22)得到最优权值W。

3 仿真结果及分析

实验一：约束参数ε改变时，分别采用正负拉格朗日乘数的本文算法分析

图1 不同参数下的正负加载波束图

从图1(a)可以看出，当约束参数ε较大时，采用正负加载的本文算法都能很好的实现导向失配校准和零陷加宽，随着约束参数的变小如图1(b)、图1(c)，零陷深度加深，但图1(c)正负加载下的算法性能都有所下降，主瓣变宽，旁瓣升高，随着约束参数越小精度越高，拉格朗日乘数极大，本文算法性能下降。综上可知，本文算法还是很好的实现了抗运动干扰同时提高了抗系统误差的鲁棒性。

实验二：存在指向误差时不同算法的波束图分析

图2 不同算法的归一化波束图

从图2(a)可以看出，RCB算法虽然针对导向矢量失配问题进行了不确定集约束，但当角度失配较大时，主瓣指向产生了偏差，甚至在期望信号的真实入射方向附近产生了零陷；文献[23]算法是对零陷展宽的算法，可以看出其在干扰方向实现了加宽，但是对导向矢量失配的情况无法得到解决，旁瓣升高，性能急剧下降；文献[15]算法可看出在角度失配下，主瓣仍能对准期望信号的真实方向，具有着抗失配的稳健性，但在干扰位置形成的零陷非常陡峭，对运动干扰不能很好抑制；本文算法由于采取了二次约束的零陷展宽和干扰加噪声协方差矩阵重构及导向矢量估计，因此校正了主瓣指向，同时干扰方向实现了零陷展宽且可调，也可以看出相比文献[23]算法零陷深度加深。图2(a)、2(b)、2(c)分别是失配角度为6°，7°和8°时的波形图，从中可以看出当失配角度大于7°时，本文算法也出现了较大失配。

实验三：不同输入SNR下的输出SINR分析

图3 输出SINR随输入SNR的变化情况

从图3可以看出，由于文献[23]王金博的算法无法解决期望信号导向矢量失配问题，因此性能远远偏离了理论值，并会随着输入SNR的增大恶化加剧。RCB算法虽然对导向矢量失配采用了不确定集约束，性能有所改善，但由于采样协方差矩阵仍然包含期望信号分量，造成失配角度较大时，性能下降，可以看出高信噪比下，逐渐恶化。文献[15]算法由于重构干扰加噪声协方差矩阵，实现了期望指向不偏移，增强了算法的稳健性。本文算法由于从根本上解决了期望信号和扰动干扰对算法的影响，期望导向矢量失配在一定的范围内时算法可保持它的稳健性，输出SINR与理论情况相差很小。

实验四：少快拍数下的输出SINR分析

图4 输出SINR随快拍数的变化情况

由图4可知，本文算法在快拍数约为30时就能达到收敛，且其输出SINR是最接近最优理论值的。相比较本文算法，文献[15]达到收敛所需的快拍数也较小，但它的输出 SINR与理论值相差将近3dB。文献[23]由于大角度失配的原因，性能恶化，相较于文献[23]而RCB算法有所改善。综上可得，本文算法不仅最快达到收敛，而且输出SINR也是最接近最优输出值，其性能最佳。

实验五：随失配角度变化的输出SINR分析

快拍数为N=50，输入SNR=10 dB，干噪比均为30 dB。图5为期望信号的失配角度在[-8:1:8]之间变化时，几种方法的输出SINR变化曲线对比图。

图5 输出SINR随失配角度的变化情况

由图5可知，当期望信号导向矢量角度偏离较大时，本文算法依然与最优的输出SINR接近，但失配角度大于7度时，主瓣方向也不能完全对准实际期望方向。而文献[15]协方差矩阵重构法虽然抗失配角度也较大，但输出SINR要略低于本文算法。RCB算法受到协方差矩阵中的期望信号分量的影响和文献[23]由于没有针对导向矢量失配做出改进，输出SINR均不同程度的偏离了最优理论值。

4 结 语

近十几年来，国内外学者提出了一些改善自适应波束稳健性的方法，也使得稳健自适应波束形成为了当前阵列处理的研究热点。这其中基于协方差矩阵重构的算法能够改善一般导向矢量失配的稳健性，而本文也是采用了这种方法解决导向矢量失配问题同时对干扰矩阵构造宽零陷，再对自适应权值进行二次约束和对干扰输出功率约束实现了零陷加宽。仿真结果表明了本文算法的正确性和有效性，最终提高了算法的抗阵列模型失配和抗运动干扰的能力。