脂润滑空心圆锥滚子轴承刚度特性分析

吴正海，徐颖强，赵兴

(西北工业大学 机电学院，西安 710072)

空心圆锥滚子轴承作为分离型轴承，可承受径向、轴向及联合载荷，具有可调节性好和寿命长等优点，同时，圆锥滚子的空腔结构有效减小了离心力，增加了散热表面积和滚子柔性，提高了轴承热承载性能和回转精度，被广泛应用于精密和高速机械设备中。由于圆锥滚子轴承空心度的设计必然会影响轴承刚度特性，进而影响轴承振动、噪声和寿命等问题，目前90%的滚动轴承采用脂润滑[1]，故有必要对脂润滑空心圆锥滚子轴承刚度特性进行分析。

目前，对滚动轴承接触问题和刚度的研究已经很多，文献[2]建立了双列角接触球轴承动刚度仿真模型，并开发了角接触球轴承刚度仿真软件；文献[3]采用解析法分析了滚道缺陷、表面粗糙度等对球轴承刚度变化和载荷分布的影响；文献[4]建立了考虑弹流润滑影响的球轴承刚度模型，验证了考虑润滑效应进行轴承刚度分析的必要性；文献[5]基于当量弹性模量概念和Palmgren经验公式分析了空心圆柱滚子轴承接触变形与载荷的关系；文献[6]基于弹流润滑理论和线接触理论分析了圆柱滚子轴承的接触刚度；文献[7]考虑圆锥滚子轴承的承载，对轴承在非润滑状态和动态工作条件下的刚度变化进行了分析；文献[8]基于Hertz接触理论和弹流润滑理论分析了油润滑圆锥滚子轴承的径向刚度；文献[9]基于Palmgren公式和Lundberg-Sjöval理论对双列圆锥滚子轴承接触有限元模型进行修正，并分析了接触应力分布情况；文献[10]分析了轴向预载荷作用下的圆锥滚子轴承接触问题，分析了采用4种典型修形方式下滚子在非润滑状态下的接触变形和载荷分布；文献[11]采用切片法建立了非润滑状态下的圆锥滚子与滚道接触模型，对接触应力分布进行了分析。

现有文献对滚动轴承接触及刚度特性的研究较多，但对脂润滑空心圆锥滚子轴承接触及刚度特性的研究较少。鉴于此，在考虑空心圆锥滚子截面属性的基础上，基于切片法、曲梁应变和弹性半空间理论对空心圆锥滚子轴承的接触特性进行分析，并耦合滚子与滚道的接触刚度和脂膜刚度，对空心圆锥滚子轴承刚度进行分析。

1 脂润滑空心圆锥滚子轴承刚度

1.1 接触刚度

空心圆锥滚子轴承的滚子和套圈均属于非等截面结构，且滚子有效长度小于滚道宽度，因此滚子两端存在应力边缘效应，而Hertz线接触理论无法有效反映应力边缘效应。空心圆锥滚子与滚道之间属于非Hertz线接触问题，力平衡条件和变形协调条件分别为[10]

(1)

(2)

式中：Ac为接触区域；p(x,y)为接触应力；Q为接触载荷；E′为当量弹性模量；δ为滚子与套圈的弹性趋近量；z(x,y)为滚子与套圈接触表面的初始距离。

如图1所示，采用切片法对滚子与滚道接触进行处理，将接触区域沿滚子素线方向划分为s个切片单元，每个单元处的接触宽度为2bi。假定在单元i内接触应力pi沿素线方向均匀分布，垂直于素线方向为Hertz应力分布,即

(3)

式中：pmi为单元中心处的最大接触应力。

图1 滚子切片法

第i个切片接触变形示意图如图2所示，圆锥滚子空心度ε为

(4)

式中：Ri为中性层半径；R2i为滚子半径。

图2 第i个切片接触变形示意图

为确定最大接触应力pmi沿素线的分布规律，需确定单元i内pmi与接触半宽bi的关系。图2中，第i个切片与套圈接触可视为空心圆柱与实心圆柱的接触。根据光弹性试验，空心圆柱体在集中载荷作用下变形可作为弯曲梁[13]。在载荷Pi作用下，接触区域内A1点相较于A2点，会由于弯曲应变比接触点O增加一个弯曲位移z′。根据曲梁应变理论[14]，弯曲位移为

(5)

式中：r为接触点在x轴的位置坐标；ai为切片宽度；ki为截面模量，可查阅文献[14]。

根据(2)式，对第i个切片有

(6)

式中:R1i为滚道半径。

对(6)式关于r求导可得

(7)

又因Pi=0.5πbipmi，则接触应力pmi与接触半宽bi的关系为

(8)

对(1)，(2)式进行离散化可得

(9)

(10)

,(11)

式中：s为切片总数;Dji为弹性变形影响系数，是作用在第i个切片上的单位载荷在第j个切片处产生的位移。

通过(9)，(10)式构成一个(s+1)阶非线性方程组，结合接触应力非负条件p(x,y)≥0，确定最大接触应力pmi和弹性趋近量δ，则第k个空心圆锥滚子与套圈滚道接触刚度为

(12)

式中：Qik，Qek分别为滚子与内、外圈滚道的接触载荷；δik，δek为滚子与内、外圈的弹性接触变形量。

1.2 润滑脂膜刚度

考虑空心圆锥滚子轴承的脂润滑状态，假设轴承充分润滑，根据润滑脂Herschel-Buikley流变模型，得到第i个切片单元处的接触压力Pi和脂膜厚度h0i的关系为[15]

(13)

式中：le为滚子有效长度；α为黏压系数；φ为塑性黏度；Ui为卷吸速度；n为塑性指数；τy为屈服应力；I(n)为关于n的常量。

在确定脂膜厚度h0i后，对(13)式关于h0i求导可得到第i个切片处的刚度∂Pi/∂h0i。每个切片的脂膜刚度沿滚子素线属于并联关系，则第k个承载滚子与套圈滚道间的脂膜刚度为

(14)

1.3 轴承承载分析

考虑滚子惯性力的影响，基于Jones拟静力学模型建立第k个空心滚子的力平衡关系[12]，即

(15)

式中:li,le,lf分别内圈、外圈、挡边与滚子作用力的力臂；Qfk为挡边接触力；Fe为离心力；Me为陀螺力矩;αr为滚子半锥角。

根据单个空心滚子受载情况，对轴承整体进行载荷平衡分析，轴承力平衡方程为

(16)

式中：m为承载滚子数量；T为转换矩阵。

(17)

式中：αi,αf分别为内圈接触角和挡边接触角；φk为第k个滚子的位置角；φFmax为受载最大滚子的位置角。

若已知外载荷F，可以确定单个圆锥滚子接触载荷，以及滚子与套圈滚道的弹性接触变形量和润滑脂膜厚度，然后通过以下分析获得空心圆锥滚子轴承的刚度。

1.4 空心圆锥滚子轴承刚度

将接触变形和脂膜厚度变化等效为弹簧变形，则单个滚子与滚道接触副的刚度可等效为接触刚度和脂膜刚度串联，即

(18)

第k个滚子与滚道接触副的等效刚度的径向分量ki(e)kr和轴向分量ki(e)ka为

ki(e)kr=ki(e)kcos2αi(e)，

(19)

ki(e)ka=ki(e)ksin2αi(e)。

(20)

将每个圆锥滚子与内、外圈滚道接触副刚度的径向分量串联，然后并联得到轴承等效径向刚度为

(21)

将每个圆锥滚子与内、外圈滚道接触副刚度的轴向分量串联，然后并联得到轴承等效轴向刚度为

(22)

2 实例分析

轴承主要结构参数见表1，润滑脂选用国产聚脲脂，主要参数见表2。滚子与套圈材料相同，弹性模量为205 GPa，泊松比为0.8。轴承用实心滚子，在分析时设定空心度，且承载最大的滚子中心位于径向载荷作用线上。

表1 轴承主要结构参数

表2 润滑脂流变参数(30 ℃)

2.1 空心度对轴承刚度的影响

在转速为2 000 r/min，径向载荷为15 kN，轴向载荷为5 kN，预紧量为0时，空心度对轴承刚度的影响如图3所示。由图可知：随空心度增大，径向和轴向刚度均减小。开始时变化较为平缓，当空心度增大到0.2时，刚度减小速度开始增大；当空心度为0.8时，变化又趋于平缓。这是由于空心度越大，同等载荷下的滚子弹性变形也越大，进而导致滚子与滚道的接触刚度减小，使轴承刚度总体呈减小趋势。

图3 空心度对轴承刚度的影响

2.2 转速对轴承刚度的影响

在径向载荷为15 kN，轴向载荷为5 kN，空心度为0.6，预紧量为0时，转速n对轴承刚度的影响如图4所示。由图可知：径向和轴向刚度均随内圈转速增大而减小。这是由于随内圈转速增大，滚子与滚道间的弹流润滑卷吸速度和脂膜厚度增大，脂膜刚度减小[16-18]。同时，转速越大，滚子离心力和陀螺力矩也越大，滚子与内圈滚道的接触载荷和接触刚度减小，滚子与外圈滚道的接触载荷和接触刚度增大，脂膜刚度和轴承刚度降低。

图4 转速对轴承刚度的影响

2.3 载荷对轴承刚度的影响

在转速为2 000 r/min，空心度为0.6，轴向载荷为5 kN，预紧量为0时，轴承刚度随径向载荷Fr的变化如图5所示。由图可知：径向和轴向刚度随径向载荷的增大呈先减小后增大的趋势。这是由于在轴向载荷一定时，刚开始时承载滚子数量随径向载荷增大而减少，轴承刚度减小；随后轴承为半圈承载状态，承载滚子数不再随径向载荷增大而减小，刚度呈增大趋势。

图5 径向载荷对轴承刚度的影响

在转速为2 000 r/min，空心度为0.6，径向载荷为5 kN，预紧量为0时，轴承刚度随轴向载荷Fa的变化如图6所示。由图可知：径向和轴向刚度均随轴向载荷的增大而增大。这是由于当轴向载荷为1 kN时，承载滚子数为11，轴向载荷增大到2kN，所有滚子均开始承载，在轴向载荷变化范围内轴承各刚度均呈增大趋势。

图6 轴向载荷对轴承刚度的影响

2.4 预紧量对轴承刚度的影响

在径向载荷、轴向载荷均为0，空心度为0.6，转速为2 000 r/min时，轴承刚度随轴向预紧量δ的变化如图7所示。由图可知：径向和轴向刚度随轴向预紧量先增大后趋于稳定。轴承各刚度刚开始时急剧递增，在预紧量为25 μm左右时，变化梯度开始减小；此后在预紧量增大过程中，刚度变化梯度较为均匀。预紧量增大显然有助于提高轴承刚度，但预紧量增大势必会降低轴承寿命，故在满足轴承寿命和使用要求的前提下，要合理选取预紧量。

图7 预紧量对轴承刚度的影响

2.5 轴承转动对轴承刚度的影响

一般在分析轴承刚度时，忽略了轴承转动对轴承刚度的影响[2-9]。开始时承载最大的滚子几何中心位于径向载荷作用线上，使轴承转动2π/Z角(Z为滚子数)。在径向载荷为10 kN，轴向载荷为5 kN，空心度为0.6，转速为2 000 r/min，预紧量为0时，滚子转动角度对轴承刚度的影响如图8所示。由图可知：轴承径向和轴向刚度均随滚子转动角度增大呈周期性波动，且2种刚度波动规律趋于一致。表明在轴承动力学和疲劳分析时，有必要考虑滚子位置或转角对轴承刚度的影响。

图8 滚子转动角度对轴承刚度的影响

2.6 润滑脂流变参数对轴承刚度的影响

在径向载荷为15 kN，轴向载荷为5 kN，空心度为0.6，转速为2 000 r/min，预紧量为0时，润滑脂塑性黏度φ、黏压系数α对空心圆锥滚子轴承刚度的影响(在分析其中一个流变参数影响时，其余参数保持不变)如图9所示。由图可知：随塑性黏度和黏压系数增大，径向和轴向刚度均减小，且与塑性黏度相比，轴承刚度对黏压系数的变化较为敏感。这是由于随这2个流变参数增大，膜厚也相应增大，从而导致脂膜刚度减小，轴承刚度也随之减小。相反，润滑脂屈服应力对轴承刚度的影响不大，当屈服应力为300 Pa时，径向刚度、轴向刚度和角刚度分别为2 101.2，55.588 N/μm和243.84 N·m/rad；当屈服应力为460 Pa时，对应刚度分别为2 100.7,55.572 N/μm和243.80 N·m/rad，表明屈服应力对膜厚影响不大，与文献[15]研究结果一致。

图9 润滑脂流变参数对轴承刚度的影响

3 结论

在考虑空心圆锥滚子截面属性和脂润滑效应的基础上，建立了空心圆锥滚子轴承刚度模型，分析了轴承刚度的影响因素，得出结论：

1)空心度越大，径向和轴向刚度越小。应针对不同应用场合对刚度的具体要求，根据影响规律合理确定空心度。

2)径向和轴向刚度随滚子公转呈周期性波动；随预紧量增大而增大，且在预紧量较小时变化更显著；随径向载荷增大呈先减小后增大趋势；随轴向载荷增大呈增大趋势，说明滚子承载数对刚度具有重要影响；随预紧量增大先增大后趋于稳定。

3)径向和轴向刚度随润滑脂塑性黏度和黏压系数增大而减小，润滑脂屈服应力对刚度影响不大。