中职数学概念教学四步曲

范学

[摘           要]  中职数学教学要让学生掌握数学知识，让他们会用数学思想，对他们的思维能力进行有效的训练，这就要求中职数学教师在概念教学过程中将数学思想贯彻进去。如何在中职数学课堂中深入浅出地进行概念教学，以一节双曲线的定义与标准方程的概念课介绍了教学“四步曲”，即：概念引入—概念概括—概念分析—概念运用。

[关    键   词]  中职数学;双曲线;概念引入;概念概括;概念分析;概念运用

[中图分类号]  G712                 [文献标志码]  A            [文章编号]  2096-0603（2019）15-0060-02

作为一名在中职教学的数学教师，笔者一直在思考，我们中职数学应该给学生留下些什么？笔者认为我们留给学生的应该不单只是公式演算和概念的记忆，更应留下数学的思想及对思维能力的训练。因此中职数学教学应当重视概念教学，对概念教学应遵循四步走：1.引入概念，即这个数学概念是什么;2.概括概念，即这个数学概念怎么表述;3.分析概念，即这个数学概念是怎么来的;4.运用概念，即这个数学概念有什么用。那么如何在教学过程中走好这四步，使概念教学行之有效呢？

笔者就以中等职业教育课程改革国家规划新教材中的一节内容双曲线的定义与标准方程抛砖引玉，探讨作为数学教师在数学教学中是如何把握概念教学中的四步曲的。

一、概念的引入

在进行数学概念教学的过程中，既要考虑学生的实际数学基础，又要了解这一阶段学生的认知规律，体现教学的直观性原则、形象性原则以及实用性原则。让学生感受到之前概念所涵盖的知识有限，需要学习新的概念得以进一步掌握新的知识，从而激发学生学习新知的积极性和主动性。

在这之前学生已经学习了椭圆的定义与标准方程，对曲线图形和标准方程的求解已经有了一定的认识，学生对“平面内动点到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）点的轨迹”已经有了充分的认识。在此基础上，教师就可以引导学生思考“平面内动点到两定点距离之差等于定长点的轨迹”又是什么呢？通过学生与学生一起协作实验。这一实验就是为了带领学生进入数学概念学习的活动操作阶段。教学中，可以引导学生通过“活动”的形式来感受所要学的数学内容，引出数学的新概念，让学生去比较前后所学概念间的关系，再通过实际的例子对概念进行更加科学的组织整理、归纳总结、激发学生的数学思维，构建新概念。

二、概念的概括

概念的概括就是我们通常所说的概念的定义。通过一个或几个已学的概念去确定另一个概念的逻辑方法。在教学中教师应充分发挥学生主体的能动性，构建出一个可以让学生“去发现、再创造”的思维过程。而抽象过程由教师代替学生体验会使得只能有一少部分学生进行有意义的学习，其学习活动也往往是不连贯的，使得建构的概念缺乏完整性。

因此在进行双曲线的定义与标准方程的概念课过程中，通过让学生动手体验活动，利用同桌之间的配合由一根拉链和两个定点，描绘出了一个全新的图形，即双曲线。这个教学活动过程中，教师秉持了发现法的教学原则。学生通过对所经历的教学活动进行思考，将活动转化为思维，将活动进行数学语言的描述和反思，构建出数学概念的性质，即概括出数学的一般定义。

教师问：比较之前关于椭圆的概念，你们是否可以运用自己的数学语言清晰准确地概括出双曲线的定义呢？

学生答：双曲线就是平面内动点到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）点的轨迹。

三、概念的分析

在数学的概念概括中已经认识到了定义的本质，并用数学符号对其形象化，成为一个具体的对象，把这一具体的对象通过后面的学习进行新的运用。当概念以定义的状态呈现出来后，有利于学生进行整体的把握，为后面的学习打下基础。因此，在日常的教学实践活动中，要引导学生分析和解剖所学的数学概念，特别是对其中有关表达形式中的语言和符号，特别需要向学生强调数学语言和符号的准确性和内涵，更要通过实例多角度、全方位向学生分析和展示数学新概念所适用的条件和范围。

教师：求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程。那么我们可以用什么方法呢？

学生：设点，列方程。

教师：对，椭圆的时候我们是怎么做的呢？

学生：建系-设点-列式-化简-检验。

教师：很好。回顾求曲线方程“五步法”（建系-设点-列式-化简-检验）。

用类比的方式，引导学生求出双曲线的标准方程，尽量发挥学生的主动性，活跃课堂气氛。

教师：取过焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，设P（x，y）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c（c>0），

则F1（-c，0），F2（c，0），又设M与F1（-c，0），F2（c，0）距离之差的绝对值等于2a（常数），2a<2c.∴P={P||PF1|-|PF2|=±2a}，

又∵|PF1|=■，∴■-■=±2a

（化简过程由学生板演）

得：（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2），

由定義2a<2c ∴c2-a2>0

令∴c2-a2=b2代入，得：b2x2-a2y2=a2b2

边同除a2b2

得：■-■=1（a>0，b>0），即为双曲线的标准方程。

它所表示的双曲线的焦点在y轴上，焦点是F1（-c，0），F2（c，0），其中c2=a2+b2

教师：若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，

如焦点在轴上，则焦点是F1（-c，0），F2（c，0），

双曲线的标准方程又该怎样求？

学生：用类比法：将x，y互换，得到■-■=1（a>0，b>0），此也是双曲线的标准方程。

四、概念的运用

概念的运用即是对之前所学概念的融会贯通，不但是对知识的活学活用，更是对之后新知识的学习打下基础。而这一过程需要通过长期的学习和实践来帮助学生完善起来，概念的运用包括了掌握概念中的符号和语言、将概念由具体到抽象的过程、掌握概念中的特殊情况，通过学习将概念与定义、图形、符号等一一联系起来，并在思维中形成综合严密的构建过程。教师在教学活动中应该特别强调概念之间的关系，引导学生通过运用概念而加深对所学新概念的理解和掌握，从而进一步加深理解所学的数学概念，同时形成数学思维以及分析和解決实际问题的能力。

那么，在双曲线的定义与标准方程中概念的合理运用，笔者是这样处理的：

教师：例1.写出以下双曲线的焦点坐标

（1）■-■=1  （2）■-■=1

学生：F=（±3，0）     F=（0，±3）

教师：例2.已知双曲线的焦点在x轴上，且焦距为14，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于8，请写出双曲线的标准方程。

学生：解 由已知得2c=14，2a=8

即     c=7，a=4

所以 b2=c2-a2=33

由于双曲线的焦点在x轴上，因此双曲线的标准方程为

■-■=1

教师：例3.如果方程■-■=1表示双曲线，求m的取值范围

学生：解：（3-m）（m+1）>0

（m-3）（m+1）<0

-1

M的取值范围为（-1，3）

教师：例4.一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2秒。

（1）爆炸点应该在什么样的曲线上？

（2）已知两地相距800米，并且此时声速为340米，求曲线的方程

学生：解：依据题意可求出双曲线的方程

其中x>0

■-■=1

以上就是笔者在数学概念教学中对数学概念四步曲的把握，笔者认为只有合理地贯彻了这四步曲，才能更有效、透彻地让学生理解数学概念，才能使学生对抽象复杂的数学概念融会贯通。这些是个人在教学中的体会，希望在此抛砖引玉，与同行们一同切磋，共同提高数学教学的能力。

参考文献：

[1]李广全.数学（拓展模块）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]曹一鸣.中学数学教学案例研究[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[3]曹一鸣.国际视野下的中国中学数学课堂微观分析[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[4]黄荣金，李业平.数学课堂教学研究[M].上海：上海教育出版社，2010.

编辑 武生智