辅助函数构造法证明微分中值定理及其应用

董姗姗，齐 雪

在工科高等数学的教学过程中，微分中值定理及其应用内容多、理论性强，是高等数学教学过程中的重点和难点.掌握微分中值定理对进一步学习高等数学的后续内容起着重要作用.国内外高等数学教材在阐述微分中值定理的证明过程中，大部分是直接引进符合该定理条件的辅助函数，再利用罗尔定理加以证明.采用的方法有利用距离构造辅助函数［1］，利用面积构造辅助函数［2］，利用坐标轴旋转构造辅助函数［3］，利用积分中值定理的推广来证明［4］，以及利用微分函数构造辅助函数［5］等.

函数与其导函数是两个不同的函数，其中导数所反映的是函数在某点的局部特征，因此仅依靠导数难以把控函数在定义域上的整体性质和状态.然而微分中值定理精确表达了函数与导数之间的关系，在函数和导数之间架起了桥梁，为导数的应用奠定了理论基础.教材中一般对于如何选取辅助函数的问题都没有详尽的说明，导致学生在学习过程中摸不到头脑，抓不住问题的主体脉络.目前，高校学生的学习积极性普遍不高［6］，因此迫切需要高校教师进一步优化教学思路，改进教学方法.本文从罗尔中值定理的应用出发，明确罗尔中值定理证明问题构造辅助函数的解题思路，将该方法知识迁移，自然地构造出证明拉格朗日中值定理与柯西中值定理的辅助函数，从而证明出相应结论并给出相应的例题.

1 微分中值定理的证明

1.1 罗尔中值定理的证明

定理1设函数f(x)满足：（1）在[a,b]上连续；（2）在（a,b）内可导；（3）f(a)=f(b)；则至少存在一个点ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0.

证明含有f′(ξ)的恒等式一般都会采用罗尔中值定理，但要构造辅助函数F(x)，使得F(x)满足中值定理的条件.

构造辅助函数的步骤如图1所示.

图1 罗尔中值定理辅助函数构造图

例1 设函数f(x)在［0，1］上连续，且在（0，1）内可导，且f(0)=1,f(1)=0.证明：至少存在一个点ξ∈(a,b)使得f′(ξ)=-1.

分析：结论中需要证明f′(ξ)=-1，用罗尔中值定理来解决.根据步骤a将f′(ξ)=-1移项得f′(ξ)+1=0 ；将ξ用x代替得f′(x)+1=0 ；f′(x)+1可以由f(x)+x求导而来，则辅助函数F(x)=f(x)+x.

证明 令F(x)=f(x)+x，因为函数f(x)在［0，1］上连续，且在（0，1）内可导，因此F(x)在［0，1］上 连 续 ，在（0，1）内 可 导 ；又 因 为f(0)=1,f(1)=0，因此F(0)=f(0)+0=1，F(1)=f(1)+1=1，从而有F(0)=F(1)=1；由罗尔中值定理可得至少存在一个点ξ∈(0,1)，使得F′(ξ)=0 ，即f′(ξ)=-1.

a→b→c可以构造出解决这类问题的关键即辅助函数，从结论出发，引导学生逆向分析问题，挖掘出题目中的有效信息，得到解决问题的关键点.利用辅助函数的构造思路，可以应用到拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明当中.

1.2 拉格朗日中值定理的证明

定理2若函数f(x)满足：（1）在[a,b]上连续；（2）在 (a,b)内可导；则至少存在一个点ξ∈(a,b)，使得

1.3 柯西中值定理的证明

根据上述罗尔中值定理的应用以及拉格朗日中值定理的证明，让学生在掌握辅助函数构造方法的同时，也获取了微分中值定理中的第二个定理（拉格朗日中值定理）的知识，从而形成知识网络；深度挖掘定理之间的关系，掌握定理的证明方法.

对于柯西中值定理的证明可以在教学过程中嵌入翻转课堂的方法.在翻转课堂中，学生作为学习的主体，是主动内化知识的自主学习者；教师提供资源并辅助学生，指导学生更好更快地掌握知识［7］.以拉格朗日中值定理证明作为已有知识支撑，柯西中值定理的证明核心思路不变，但具体证明过程又与拉格朗中值定理的证明方法有所不同.利用柯西中值定理证明激发学生内化知识的能力，能动的将所学知识运用于解决新问题.

定理3若函数f(x),g(x)满足：（1）在[a,b]上连续；（2）在（a,b）内可导；则至少存在一个点ξ∈(a,b)，使得

鼓励学生上讲台来讲解柯西中值定理的证明过程.针对柯西中值定理的结论，学生自然地会运用上述辅助函数的构造方案来解决问题.但对于导函数商的原函数不易确定，因此可以引导学生将其进行如下变形：

证明令F(x)=f(x)[g(b)-g(a)]-g(x)[f(b)-

f(a)]，因为函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，因此F(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导；又因为

即F(a)=F(b)；由罗尔中值定理可得至少存在一个点ξ∈(a,b)，使得F′(ξ)=0，即f′(ξ)[g(b)-g(a)]-g′(ξ)[f(b)-f(a)]=0 ，亦即

2 微分中值定理的应用

在上面的论述过程中，要使罗尔定理成立，函数需要满足三个条件：①闭区间连续；②开区间可导；③区间端点处函数值相等.罗尔定理的结论为：在开区间内存在一点使得函数在该点的导数值为0.下面以一个具体例子，对罗尔定理的具体应用进行说明.

例2证明方程5ax4+4bx3+3cx2+2dx=a+b+c+d至少存在一个正根.

分析：令f(x)=5ax4+4bx3+3cx2+2dx-(a+b+c+d)在x＞0时，找不到区间[a,b]使得f(a)⋅f(b)＜0，不能使用零点定理.因此构造函数由于要证明方程至少存在正根，因此需要在x＞0的范围内找到区间[a,b]，使得F(a)=F(b)，通过观察方程F(x)=ax5+bx4+cx3+dx2-(a+b+c+d)x的系数，不难发现F(0)=F(1)，选取[a,b]=[0,1]，此时再对F(x)应用罗尔定理即可证明.

证明：令f(x)=ax5+bx4+cx3+dx2-(a+b+c+d)x，则f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)可导，f(0)=f(1)，所以由罗尔定理可知，至少存在一个点ξ∈(0,1)，使得f′(ξ)=0 ，即5ax4+4bx3+3cx2+2dx-(a+b+c+d)=0，亦即方程5ax4+4bx3+3cx2+2dx=a+b+c+d至少存在一个正根ξ∈(0,1)，所以定理成立.

例2给出了利用罗尔定理对方程证明的例子，下面两个例子对拉格朗日中值定理和柯西中值定理的学习有很好的启发作用.

例3证明：当x＞0时，不等式ln(1+x)＜x成立.

分析：由x＞0可知其中，从上式观察得出，不等式中存在函数值之差，因此考虑采用拉格朗日中值定理.

证明：令f(x)=ln(1+x)，则函数f(x)满足在[0,x]连续，在(0,x)上可导.应用拉格朗日中值定理可得. 即，从而可以得到

又 0＜ξ＜x，即故.因 此成立，不等式得以证明.

例4 设0＜a＜b，函数f(x)在[a,b]上连续、在(a,b)上可导，试证在(a,b)内至少存在一点ξ，使成立.

分析：从要证明的等式可以看出，等式左边为两个函数值的差值，右边存在，由此考虑到将等式变形为由此可见，可以采用柯西中值定理来证明.

证明 设G(x)=lnx，根据题意可知：函数f(x),G(x)满足在[a,b]上连续、在(a,b)上可导.由柯西中值定理可知，在区间(a,b)内存在一点ξ使得，即，从而等式成立.

3 结论

在大多数高数教材中，拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明都是直接给出辅助函数，利用题设条件验证辅助函数是否满足罗尔中值定理，最终推出结论.但从学生的角度看，教材给出的辅助函数突然呈现在证明过程中，在学习掌握罗尔中值定理之后形成知识结构的断层，没能将前后知识进行良好的衔接，长此以往势必会加剧学生对数学的恐惧与排斥.通过上述辅助函数构造思路，可以启发学生将构造辅助函数的知识进行知识迁移，利用罗尔中值定理可以证明出后面两个微分中值定理，层层递进，形成知识网络，扎实掌握这部分的内容，并可以灵活运用.本文从相对简单的罗尔定理出发，辅助函数构造思想清晰明确，可以较为容易的完成后续的拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明，提高微分中值定理的教学效率.