对一道数学习题的探究

顾宣松

[摘 要]数学教学中难免会遇到一些令人棘手的问题，这些问题有时甚至是有争议的，各种信息扑面而来，各种解法相互冲突，教师要保持冷静、深思熟虑，用审慎严谨的科学态度将问题搞清楚，然后再用学生容易接受的方法将问题讲清楚。

[关键词]习题;查阅;教辅资料;网络

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）14-0033-01

在一次数学综合测试中出现了这样一道几何题：在长12.4 cm、宽7.2 cm的长方形卡纸上剪出一些半径为1 cm的圆，最多能剪出多少个这样的圆片？

许多学生认为是“18个”，他们认为在长方形卡纸上可以切割出6[×]3，即18个边长为2 cm的正方形，而每个正方形恰好是对应半径为1 cm的圆形的最小外切正方形，可剪出一个标准圆，即可剪出18个圆片。还有的学生进行数据分析，最后算出最多可以裁剪出“28个”圆，他们先算出长方形的面积12.4[×]7.2=89.28（cm2），然后求出一个标准圆的面积3.14[×]1[2]=3.14（cm2），最后用总面积除以单个圆片的面积，即89.28[÷]3.14[≈]28.43[≈]28（个）。很显然在实际操作中，于长方形卡纸上裁剪圆片，圆片与圆片之间必然会留有空隙，会有大量的、分散的边角余料，所以得数“28个”是不符合实际的。那么，到底能剪出多少个圆片呢？笔者针对这一问题进行了实践研究和科学论证。

一、综合参考教辅资料

査阅教师教学用书和一些权威教辅资料后发现，在长方形卡纸上裁剪圆片，两个圆片之间必然会留有空隙，這些空隙累计起来就是废料，所以用长方形的面积除以一个圆片的面积，得出的数据是不精确的，因此28个圆片是剪不出的。可行的方案是：先将长方形卡纸切分为边长为2 cm的正方形纸片，则可得到一行6个、一共3行的方阵，共有18个正方形，每个正方形又可以剪出一个最大内切圆，这个内切圆的直径刚好就是外切正方形的边长——2厘米，这样一算，恰好可以剪出18个圆。出于想办法尽力减少空隙，或者巧妙利用图形边线的嵌合将图形进行密铺的目的，可进行如下操作：第一行排列6个圆片，第二行每个圆片都可以正好嵌入第一排两个圆片之间，形成两两相切的形态，则第二行可以剪出5个圆片，尽管偶数排的圆片数量减少了1个，但是却节省了大量空间，这样平均算下来，每行圆片占据的垂直高度就不足2 cm（约为1.85 cm），宽为7.2 cm的长方形可容纳这样交错嵌入的圆片4排，即6+5+6+5=22（个）。练习时，不妨先让学生独立思考，再通过画图验证。由此可以看出，本题的正解是22个。

二、网络查证与质疑

笔者上网检索，发现网友也是众说纷纭，各执己见。笔者在原有旧方案的基础上，又得出一个新的方案。如图1所示，AB=1，AC=2，△ABC是直角三角形，于是求得BC=[3]。长度分配上1+6[×][3]+1=12.3923<12.4，可以排下7列;在宽度分配上，2[×]3+1=7<7.2，每列3个，共可剪出圆片3[×]7=21（个）。

到底能不能剪出22个圆片呢？笔者决定动手试一试，先画一个长12.4 cm、宽7.2 cm的长方形，剪出几个半径是1 cm的圆片，可是一旦用力挤压圆片，圆片就会变形，影响测量，而且操作起来非常麻烦。对此，笔者用五角钱硬币来代替。笔者将22枚五角钱硬币按“6+5+6+5”进行拼摆，但摆来摆去，有几枚硬币总是超出边线1～2 mm的距离。无论怎么调整位置，都无法消除这个尺寸差距，笔者不敢断言一定能摆下22枚硬币。此时笔者深感疑惑：是画出的长方形尺码不够标准，还是测量工具有误差，抑或是硬币变形了？

三、实践操作验证

真相究竟如何呢？为了查明真相，笔者着手画图分析，试图从几何学的角度将问题搞清楚。笔者规规矩矩地画了22个圆并连接顶层和底层三个圆的圆心，组成一个正三角形ABC，它的每条边刚好是两条半径和两条直径连接而成（如图2所示），于是有AB=AC=BC=6 cm，由点A作边BC的高AD，根据三角函数或者勾股定理可以得出AD=[62-32]=[27][≈]5.196。从长度上进行分配，可摆放6列，6[×]2<12.4;从宽度上分配，减去正三角形的高度后，上、下各剩下一个半径的间距，于是上、下总高度为1+5.196+1=7.196<7.2，由此可以判断能剪出22个圆片。

回顾整个解题过程，笔者先在参阅资料时产生了一些独特的见解;接着通过各种渠道，进一步深入研究;然后利用操作实验小心求证;最后成功地找到正确答案。在一步步的探索与求证中，“真相”终于浮出水面。

（责编 黄春香）