高层次数学思维的培养路径

许礼光 沈 琼

(江苏科学技术出版社基础教育出版中心 210009)

近年来，发展和加强学生的高层次数学思维已经成为一个重要的教育目标，西方研究者认为，数学教学的目的就是要培养学生通过学习数学知识发展高层次数学思维[1].教学中我们也常说“数学要把学生教聪明”，所谓“教聪明”就是要让学生具有更高层次的思维.但是在部分教学活动中，常或因为过于强调培养知识技能，或为了应试，导致思维的浅层次、表面化，不恰当的教学反而将学生思维本性中蕴含的灵活变僵化、发散变封闭、独创变同化.上海市2015年中小学生绿色指标测试评价的测试结果表明，全市初中生具备高层次数学思维的所占比例仅有56%，与前几年相比，学生的高层次数学思维指数有所下降[2]. 可见培养高层次数学思维的路径值得探索.

1 高层次数学思维及其特征

何谓“高层次思维”？目前还没有简单明确、广受接纳的定义.高层次思维研究起源于布鲁姆和加涅的认知水平分类:识记、理解、应用为低层次思维，分析、评价、创造为高层次思维[3].但是很多学者对这一简单的分层方法提出质疑.美国数学教育家瑞斯尼克概括了高层次思维具有以下特征:非算法的、复杂的、多种解法的、细致的、多种标准的、不确定的、自我调节、从无序中找出结果、需要持续努力的[1].国内也有学者从林崇德提出的思维品质方面着手，概括出高层次数学思维的具体表现为：深刻性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性[4].

笔者认为高层次数学思维是一种综合性思维过程，常发生在元认知、问题解决、应用与创造性活动中，学生的思维经历联系与转化、抽象与扩展、批判与监控的过程.换言之，高层次数学思维体现出三个基本特征:

联系与转化特征.能够根据实际问题，挖掘已有经验，广泛建立联系，迅速选择合适的方法或对已有经验进行改造，解决新问题.

抽象与扩展特征.能够透过现象看本质，探究并概括出一般规律或模型，并能自主迁移、推广、应用到其他情境中.

批判与监控特征.能够对自己的思维过程进行自我调节，评价自己及他人的认知，同时善于总结并评价数学方法、数学结论、数学思想.

2 高层次数学思维的培养路径

已有研究提出高认知水平的学习任务、基于问题的学习模型(PBL)等是发展高层次数学思维的有效方式[1]，那么日常教学中如何把高层次数学思维的培养渗透在各个环节呢，笔者认为可从以下几方面探寻.

2.1 构筑“联系”的通道，为实现高层次思维的“转化”引航

我们常感到数学能力强的学生在解题中会“随机应变”.高层次思维的灵活性要求学生在思维过程中能根据变化及时转换思路、擅于转化新问题.这里建立联系是完成转化的桥梁，高层次思维的深刻性、独创性也都要求学生能够发现数学对象之间的内外联系与特殊联系，建立的联系越丰富、越精细、越深刻、层次越清晰，在分析、解决问题时思维转换越灵活.事实上，突出“联系”要素也是国际上数学教育发展的普遍趋势[5].

(1)整体构建知识网络.数学知识具有系统性、结构性、逻辑性，教学中应引导学生认识知识系统的整体结构，形成知识网络.首先教师自己要理解数学知识的本质，知道新授知识在数学系统中的“来龙”与“去脉”；其次分析学生已有的认知经验，准确激发知识的“生长点”，让其体会新旧知识的联系，引导学生从整体性角度进行认知，形成合理的逻辑结构.如所学模块在知识链条中的位置、作用、对知识链条的影响等. 另外，在学习了新的知识后，要特别注意帮助学生整理、更新已有的知识网络，这种更新不是简单的知识网络端点的增加，而是对知识网络的重组、改造、整理与升华.一句话，以“联系”为主体的整体知识网络构建，是所有“转化”的引航工程.

案例一元二次方程(苏科版《数学》九年级上册)

问题1： 某学校准备修建一个周长为50 m的矩形花圃，它的长比宽多10 m.怎样描述其中数量之间的相等关系？

问题2： 某学校准备修建一个面积为200 m2的矩形花圃，它的长比宽多10 m.此时应怎样描述数量之间的相等关系？该矩形花圃的长、宽为多少？

在学习一元二次方程之前，学生已经具有了一元一次方程、二元一次方程的经验，问题1激发学生关于一元一次方程的知识生长点，问题2制造认知冲突.接下来，教师再用大量与一元二次方程有关的现实情境，帮助学生建立并感悟一元二次方程这个表示现实世界数量关系的模型.然后，引导学生关注一元二次方程与一元一次方程、二元一次方程组的联系与异同，感悟一元二次方程是以前学过的方程知识的延续和深化.最后，让学生总结“现在你学过哪些方程了?”这样的类比与联系，一方面让学生关注不同类型方程形式上的差异，在后续学习，比如解方程中能够灵活将各种复杂的方程转化为熟悉的方程形式求解；另一方面有利于将学生对各方程单一的理解上升到统一的、整体的模型思维层次，即使以后面对更为复杂的问题情境，也可以通过剥离现象，提炼本质，有效地调用模型思想解决问题，使数学思维向高层次发展.

(2) 增加知识联结的精度与强度.引导学生建立知识联系时要避免做空洞的“词汇游戏”，而要做内化于学生认知系统的“思维之举”[7]，使知识网络逐渐强化和精致化.

首先，要构建数学对象本质之间的联系.如：在三角形的三条边、三个角这6个元素中，“已知哪几个元素可以用尺规作图作出该三角形”“已知哪几个元素可以解该三角形”“已知哪几个元素相等的两个三角形全等”，这3个问题表面上的联系是同为三角形中6个元素的相关问题，但本质上都是解决“如何确定一个三角形”的问题，渗透的“在哪些元素确定的情况下，就可以确定所有元素”的思想可以广泛应用于各类问题的解决中.

其次，要引导学生将知识之间的联系具体化、精致化.如平行四边形、矩形、正方形、菱形，本质上这4个概念同属中心对称图形，且相互之间具有特殊与一般的关系，出示如下问题将这种抽象的联系过渡到具体性质：平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称中心、对称轴分别什么？回顾中心对称图形的性质，你认为平行四边形具有哪些性质？正方形有什么特殊性质是矩形没有的？判定一个图形是正方形、矩形、菱形，哪个需要的条件最多？已知一个图形是矩形，再满足什么条件就可以判定它是正方形了？

另外，求同中之异，在异中求同.对数学对象展开对比分析，研究相同点与不同点，并分析产生异同的原因，提高思维的深刻性.比如，学习了一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法之后，教师出示问题：

问题1：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤、每一步的根据有什么相同点与不同点？

问题2：为什么解一元一次不等式时，要考虑两边同乘(或除以)的数的符号，而解一元一次方程时不需要考虑？

以上2个问题引导学生理解两者都是步步有据的转化过程，解法上的不同源于不等式的性质与等式性质的区别.

2.2 确立“抽象”的频道，为实现高层次思维的“扩展”领航

注重培养抽象思维已经成为数学教学的共识，而培养学生将经过抽象得到的数学对象广泛应用于更多情境同样重要.PISA测试将数学思维和概括能力作为数学素养的最高能力等级，这不仅要求学生将现实问题数学化，辨别并提取包含在情境中的数学因素，还要求运用其分析、解释他人的数学模式[8]，瑞斯尼克把“将新的理论应用到一系列的事实和问题上”作为高层次思维的主要特征之一[1].其实某种程度上，扩展也可看成是一种抽象，它是将抽象得到一般对象化到了更高的抽象层次.抽象思维与扩展能力相辅相承，共同为高层次数学思维领航.

(1)经历模型推广的过程.通过设计不同现实背景，引导学生将抽象得到的数学模型推广到更丰富、一般的情形，提升思维的广阔性和深刻性，在后续解决具体问题的过程中，其思维的触发点将更广泛，同时也更能主动自觉地寻找具有普遍意义的方法、模式.

案例“轴对称图形”小结思考(苏科版《数学》八年级上册)

在“探索研究”阶段，教师出示以下问题：

问题1：一位将军要从河流一侧的军营出发前往位于河流同侧的家中，途中需要牵马到河边喝水，他怎么走才能更快到家？

教师引导学生分析情境，画出图形，抽象出数学问题，建立模型；然后运用轴对称和“两点之间线段最短”解决问题.接下来，将模型进一步扩展到以下问题情境：

问题2：光的反射传播路径满足入射角等于反射角.如图，光线从点A出发，经过平面镜l反射从点B射出，请你画出光线所走的路径.你画的路径是光线从点A到点B的所有路径中最短的吗？

将问题1中的模型应用于物理现象中，在解答后向学生介绍这是光学中著名的费马原理，让学生体会数学与物理的联系，感受数学模型应用的广泛性.最后，出示以下拓展问题：

问题3：在如图的矩形台球桌上，如何击中白球，使它能够依次碰撞球桌边OM、ON之后撞击到黑球？

问题3具有与问题1、2完全不同的生活背景，同时也对前面建立的模型进行了改造与拓展，学生体会到数学模型经过变化可以应用到更多领域，开拓建模思路.

(2) 多角度分析解决问题.教学中应帮助学生打破思维定势，引导其通过多种途径思考和解决问题，同时在不同角度或方法之间灵活转化，用一种思考问题的角度去支撑或帮助另一种角度的思考，辩证地看待不同方法之间的优劣.

案例“线段、角的轴对称性”(苏科版《数学》八年级上册)

已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：AD垂直平分EF.[6]

证法1 ：

因为AD是△ABC的角平分线；

所以∠1=∠2；

在△AED和△AFD中，

所以△AED≅△AFD.

所以AE=AF.

在△AEO和△AFO中，

由△AEO≅△AFO.

有∠AOE=∠AOF,EO=FO;

所以AD垂直平分EF.

证法2:

因为DE⊥AB,DF⊥AC,∠1=∠2；

所以∠3=∠4；

所以DE=DF,AE=AF.

所以D、A在EF的垂直平分上.

所以AD垂直平分EF.

本题是学生学习过“线段、角的轴对称性”之后的例题，在这之前学生刚学习过全等三角形，经历了大量利用三角形全等证明几何结论的训练，形成了从三角形全等的角度思考几何问题的思维定势，在本道例题实际教学中，很多学生仍会用证法1.教材引导学生从线段、角的轴对称性的角度分析问题，利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明(证法2)，打破其“看到三角形中的证明问题就想全等”的定势，学会通过多种途径思考和解决问题.

2.3 开辟“批判”的跑道，为实现高层次思维的“监控”护航

关于高层次思维的研究无一例外都强调了评价或思维批判性的重要性，这包含两层含义，一是监控，包括对思维过程的自我监控及有意识地自我调节和修正；二是判断，包括以批判性的眼光根据标准做评估、比较、选择等.

(1)通过问题引领激发学生主动反思

在教学中引导学生自觉、主动地反思，可以促进其对数学思维活动实现自我察觉、自我评价、自我探究、自我监控、自我调节.教师要为学生创设反思的机会，如可以通过示错纠错的方式，引导学生分析质疑，培养反思的意识，学会反思的方法.另外要给学生充分表达自己思考过程的机会，充分暴露其思维过程，不断对学生的回答进行追问，实现“思维对话”,让其经历重新梳理思维路径的过程，以主动体悟自己的思维障碍.另外通过元认知提问引导学生进行反思，教师的提问应“问过程”，而非“问结果”，要“问思考”，而非“问知识”.

案例等可能条件下的概率(一)(苏科版《数学》九年级上册)

在学习了计算等可能条件下的概率之后，教师出示下列例题：

问题：抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次都是正面朝上的概率是多少？

在本例中，很多学生计算结果为1/3.教师启发学生反思：

师：请谈谈你是如何思考的？

生：有3种可能出现的结果，2次正面朝上，2次反面朝上，1次正面朝上1次反面朝上，2次正面朝上是其中的一种，所以概率是1/3.

师：你说的“1次正面朝上1次反面朝上”中的1次是指哪一次呢？

生：可以第1次也可以是第2次.(引导生意识到枚举未全，所以3种结果不是等可能的)

师：你为什么会发生这种错误？

生：我把第1次和第2次算成同一次了.

师：想想看用什么方法避免这种错误，使得列举的结果不重不漏呢？(引导学生体会列表、画树状图在条理性方面的优点)

(2)适时创设机会引导学生有根据地批判

大部分数学知识和问题答案在向学生呈现时都是确定且唯一的，这在一定程度上导致学生在数学学习中批判意识的欠缺.教学中教师要适时创设机会让学生在学习时进行有效思辨，让其自主探索、合作交流，在思辨中探求“真理”，潜移默化地提升思维的批判性.这里的“辨”，不是“乱辨”，而是在教师的指导下，找到辨证的根据与原则，结合与自己的经验、当下的情境，独立提出观点.

案例苏科版《数学》教材九年级下册“8.1 中学生的视力情况调查”[6]

教材提供了5种对本地区中学生视力情况调查的不同方式并给出相应的调查结果：在眼镜店调查50名中学生的视力，在邻居中调查20名学生,在所在学校每个年级调查10名学生,查阅本地区每个中学医务室资料,抽查本地区10%的学生.

教师让学生合作交流，对5种调查方式进行评价，并通过如下问题引导学生确立评价的根据：这5种调查方式的结果为什么相差这么大？它们在数据来源上有什么不同？它们对数据的处理方式是怎样的？对这5种调查方式你有什么看法？如果让你调查本地区中学生的视力情况，你应该如何收集数据？

通过让学生自由的讨论、发表看法、对他人的回答做出评价，学生在感受到抽样调查的原则、加深对数据的认识应用的同时，经历思辨的过程，提升批判意识.

正如前文所说，高层次数学思维到目前为止，还没有一个被广为接受的一套定义.从数学学科来说，高层次数学思维在数学学习中也不是完全独立的，它可以被认为是多种能力的叠合，高层次数学思维的培养应贯穿人才培养的全过程、渗透在数学教学的各个环节.但无论怎样,探寻与培养学生的“联系与转化”“抽象与扩展”以及“监控与批判”能力应是高层次数学思维能力提升的必然路径.