解决“元”问题 抓住问题“源”

周迎春

[摘  要] 二元最值（范围）问题，包括含参数的函数最值（范围）问题是近十年高考导数题目中一种比较常见的题型.由于高中阶段主要研究的是一元函数，而多元函数的变元之间的联系方式存在多种情形，所以导致学生在解决这类问题时，容易产生认知障碍、推理障碍和运算障碍. 解决多元最值问题，关键是要抓住问题产生的根源，即变元及变元之间的关系.解析近十年高考导数题目中的多元最值问题，形成常见的三类变元关系，从而实现有效的解题策略.

[关键词] 二元;根源;策略

函数思想，是中学数学的基本思想方法，函数方法，是解决求值、求范围（最值）问题的重要工具. 在中学数学体系中，我们主要研究一元函数最值问题，对二元函数最值问题仅在特殊结构或特定情景下进行认知. 然而，在近年的高考试题中，却多次出现二元函数范围（最值）问题，并形成以逻辑推理、数学运算等核心素养考查为立意点的题目，为函数模块的考查展现出不一样的意蕴.

“如果说命题是将较简单的问题、平凡的事实逐步演绎成复杂的、非平凡的问题，而解题则是把复杂的问题、非平凡的问题转化为简单的、基本的问题.”这就需要我们在认知问题时的站位要更高，才能真正洞穿问题本质，形成合理解题策略，驾驭不同情景下的题目. 对于多变元所产生的认知障碍、推理障碍和运算障碍，产生于对“元”的认知与解决策略. 消元，将多元问题化归为一元问题，无疑是解决多元问题的总纲. 而化归的具体方法，又取决于变元的形态、变元间的关系、表达结构的特征等因素.

本文遴選近十年的几个高考试题，追溯这类问题产生的本源，以及解决这类问题的常态策略.

替换——源于具有“完全相关性”的变元关系

完全相关变元是指表达式中的两个变元之间是相互确定的，即当确定其中一个变元的值，另一个变元的值随之而确定，变元之间通常通过一个方程联系起来. 此时的二元结构实质上是一元结构的延展，是低维问题的高维化表示，即：函数的初始形式是y=f（x0），令x1满足g（x1，x0）=0，则原函数就呈现出新形式y=f（g（x1，x0）），从而形成二元结构.

利用等量关系替换消元，是将多元问题化归为一元问题的通性通法，关键是如何捕捉、挖掘题目条件中的等量关系信息，建立关于不同变元之间的方程，实现有效替换. 有的变元是以参数的身份呈现在函数解析式中，所以往往被认为是一个常数，而事实上，含参函数的零点本身是关于参数的函数（或隐函数关系），所以参数本质上是一个变元. 根据变元之间的不同关系，还常常通过均值换元、三角换元等技巧达成消元目的.

整合——源于具有“不完全相关性”的变元关系

不完全相关变元是指变元之间有关系，但不是确定性关系. 即当其中的某个（或某些）变元的值确定时，另一个（或一些）变元的值不能够确定，但可以确定这个（或这些）变元的部分性质，如取值范围等. 不完全相关的变元之间通常没有等量关系连接，所以无法通过等量替换消元化归成一元函数，导致表达式会始终保持多元状态. 此时需通过分析具体结构特征进行转换，通常整合成某种整体运算，形成广义的一元表达式.

主元化——源于“无关”的变元

无关变元也可以称为独立变元.由于变元之间没有任何关联，所以可以认为它们在表达式中的“地位”是平等的，但如果同时处理所有变元，往往会形成逻辑纠缠.此时，通常会采用独立处理策略解决关于每个变元的局部最值，再进行叠加;或采用主元认知策略，即认定其中一个字母为主变元，其余字母参数化，从而化归为一元问题.

虽然独立变元的运算地位是平等的，但在进行主元认定时，还是应结合与之对应的“一元函数”是否足够简单，选择认定顺序，这是对运算程序的一种设计方法.

通过以上问题，我们不难看到，对“元”的认知与理解，是解决多元最值（范围）问题的“源”，对“元”的认知与理解方式，决定了解题方向与策略、方法与技巧. 当然，作为解题，我们可以将方法常态化，但不能将方法固态化，如例3也可以通过主元认知的方式，形成相应的求解方法.

解题能力是数学教师的一项基本重要能力，作为解题教学，当教师的眼光局限于题目中的某个特殊技巧，或受困于纷繁复杂的情景变化，就会使得教学浅表化，产生低效的教学过程和教学效果. “不畏浮云遮望眼，自缘身在最高层”，只有拨开层层迷雾，抓住问题产生之“源”，才能形成解决方法之“流”. 这要求教师在解题视野上须有延展性，在解题策略上须有统领性，在解题研究上须有深入性，即要兼具宽度、高度、深度，只有这样才能真正达成《课标》对数学教师专业素养的要求.