由线到点

[摘  要] 在初中阶段，我们最常接触并且难度最大的模块便是函数，而在函数问题中，最让人无处下手的就是函数的动态问题. 研究原函数的几何变换（平移、轴对称、旋转、位似）所得到的新函数的动态问题，可以在这些函数上找到一个或几个特殊点，让这为数不多的几个点代替整个函数的运动过程.

[关键词] 变换;特殊点;函数;运动

大家都很熟悉这样的一句话：“点动成线，线动成面，面动成体”，也就是说，极其复杂的三维几何体仅仅是由二维平面上一个个点构成的，即点是一切几何体或几何图形最基本的元素. 那么，我们把这个过程反过来，把一个几何体拆成无数个点，而这无数个点又可看作是一个点沿着特定的轨道运动所勾勒出来的轨迹. 简而言之，我们可以把不熟悉的几何体或者几何图形，转化为我们熟悉的点来研究，这就达到了简化问题的目的.

在初中阶段，我们最常接触并且难度最大的模块便是函数，而在函数问题中，最让人无处下手的就是函数的动态问题. 何为动态问题？动态问题指的是研究原函数经过一系列的几何变换（平移、轴对称、旋转、位似）所得到的新函数问题. 而这些动态问题中，函数运动的过程往往难以在纸上或是脑海中呈现，此时，我们急需将这些问题简化. 我们可以在这些函数上找到一个或几个特殊点，让这为数不多的几个点代替整个函数的运动过程. 以下对几个初中阶段常见的函数（一次函数、反比例函数、二次函数）运动做相应的分析.

一次函数

代数特征：一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）.

几何特征：一次函数的图像是一条直线.

谈起直线，大家很容易想到“两点确定一条直线”，再回想自己平时的做题经历，也的确如此，我们只需两点坐标，代入y=kx+b（k≠0），建立关于k，b的二元一次方程组便可得解.

既然两点确定一条直线，在研究一次函数的运动问题时，我们是不是可以任选其图像上两点进行研究？当然可以. 但我们的最终目的是进一步简化，即把两点的坐标简化为一点的坐标. 回想我们在学习一次函数的时候，学过特殊的一次函数——正比例函数. 正比例函数之所以特殊，是因为其函数图像过原点（0，0），按照这个思路，我们可以将特殊点选为函数图像y=kx+b（k≠0）与x轴的交点-，0或者与y軸的交点（0，b）. 不妨设k>0，b>0，对一次函数的几何变换进行具体分析.

1. 平移

对于这个问题，我们还可以从另一个角度思考：整个函数图像在坐标轴不动的情况下，原函数在x=-时，y=0，新函数在x=-+n的前提下，才取得y=0，原来的x值所对应的原来的y值，现在取（x+n）才能取到，我们可以将（x+n+t）（t为常数）看作一个新的自变量x′，此时要使kx′+b=kx+b，则x′=x，所以t=-n. （2）上下平移

对于上下平移，可以直观地观察到原来y=kx+b（k≠0）的图像与y轴交点（0，b）这个特殊点的变化，当一次函数图像向上移动n个单位时，交点（0，b）变为（0，b+n），此时设平移后的函数为y2=kx+m（k≠0），与y轴交点（0，m），建立等量关系：b+n=m，所以y2=kx+m=kx+b+n（k≠0）.

2. 旋转

不妨设旋转角是直角，且将y=kx+b（k≠0）绕某点顺时针方向旋转，旋转后的直线方程为y2=k′x+b′（k′≠0）.

旋转中心在函数图像上，点M为旋转中心.

在这个问题中，出现了一个难点，-，0，（0，b）两点都不能直观地判断运动，似乎无从下手. 其实从另一个角度来说，这是一个较为特殊的动态问题，它出现了一个定点，即旋转中心，作为一个特殊点，为解决问题提供了突破口. 利用这个旋转中心在函数图像上，我们可以得到：kx+b=k′x+b′，再沿袭以往的经验，利用-，0或（0，b）.

旋转的本质在于旋转角（也就是对应点与旋转中心连线的夹角），因为旋转角为90°，所以此处我们根据以往经验，很自然地想到了构造“一线三等角”的方法，可以求得A′（km+m，km+b-m），联立求解得：k′=-，b′=m+b，所以y2=-x+m+b.

还有两种情况，一是旋转中心不在直线上，二是旋转角度不为90°，看起来很复杂，但是都能转化为刚刚讲述的特殊情况（旋转中心在直线上以及旋转角为90°），构造“一线三等角”的方法进行解答.

3. 对称

（1）以y轴为对称轴

（2）以x轴为对称轴

4. 位似 （以原点为位似中心，缩小到原来的）

对于反比例函数而言，它与众不同的地方在于渐近线（x=0，y=0）和对称中心（0，0），而渐近线又取决于对称中心的位置，所以反比例函数的动态问题，我们选取的点是其对称中心，反过来，对称中心又可决定反比例函数.

1. 平移

对称中心：（0，0）向右平移m个单位，得到（m，0），再向上平移n个单位得到（m，n）.

解析式：y=（k≠0）→y=（k≠0）→=+n（k≠0）.

2. 旋转

旋转的本质在于旋转角（也就是对应点与旋转中心连线的夹角），因为旋转角为90°，所以此处我们根据以往经验，很自然地想到了构造“一线三等角”的方法，可以求得A′

还有就是旋转角度不为90°的情况，看起来很复杂，但是都能转化为刚刚讲述的特殊情况，构造“一线三等角”的方法进行解答.

3. 对称

（3）以原点为对称中心的中心对称，由于反比例函数图像本身为中心对称图形，所以y=（k≠0）→y=（k≠0）.

4. 位似 （以原点为位似中心）

这里需要考虑反比例函数的特殊性质. 先来思考一个问题：反比例函数为什么是曲线？为什么其对称轴为一、三象限或者二、四象限的角平分线所在的直线？为什么函数图像是关于原点的中心对称图形？因为反比例函数的特征是自变量和因变量的乘积一定，所以导致在同一象限内的任意不重合两点之间的连线的倾斜程度不同，进而使其成为曲线，又因为图像上的点关于y=x或者y=-x对称，且x与y的符号相同，所以函数图像关于原点成中心对称. 所以，我们考虑反比例函数的位似时，可以用面积来体现.

对于二次函数，其特征是沿对称轴对称，这是一个直观的特征. 回想二次函数的应用，会发现其最值也是一个研究的热点. 一方面是对称性，一方面是最值，这两个特点加在一起便是“顶点”，即点

因此，我们将顶点作为研究二次函数问题的特殊点.

1. 平移

顶点：（h，k）向右平移m个单位得（h+m，k），再向上平移n个单位得（h+m，k+n）.

解析式：y=a（x-h）2+k（a≠0）→y=a（x-h-m）2+k（a≠0）→y=a（x-h-m）2+（k+n）（a≠0）.

2. 旋转

y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点（h，k），以原点为旋转中心，旋转180°后，顶点变为（-h，-k），且开口方向改变，所以抛物线解析式变为y=-a（x+h）2-k（a≠0）.

抛物线旋转其他角度后的图形在初中阶段属于超纲，这里不予分析.

3. 对称

二次函数的轴对称有两方面要考虑，一是顶点，二是开口方向.

（1）以y轴为对称轴对称，顶点（h，k）→（-h，k），开口方向a→a，解析式：y=a（x-h）2+k（a≠0）→y=a（x+h）2+k（a≠0）.

（2）以x轴为对称轴对称，顶点（h，k）→（h，-k），开口方向a→-a，解析式：y=a（x-h）2+k（a≠0）→y=-a（x-h）2-k（a≠0）.

4. 位似

总而言之，函数的运动过程从特殊点入手，对于平移、旋转、对称、位似，都可以遵照特殊点，将复杂的直线或曲线变成点进行研究. 特殊点的选择，要最能体现其几何特征和代数特征的点，最大程度上确定这个函数的解析式，进而达到简化的目的.

作者简介：向伟（1983-），本科学历，中学一级教师，从事初中数学教学工作，曾获得深圳市中青年骨干教师、广东省首届中青年教师教学能力大赛初中数学第一名，多次在市教学技能比赛中获一等奖.