Weibull分布下双应力恒加试验的一种区间估计方法

鲍志晖，李 玲

（黄山学院数学与统计学院，安徽黄山245041）

对Weibull分布场合加速寿命试验的统计分析，大多数文献讨论的均是正常应力水平下可靠性指标的点估计，常采用的方法是极大似然估计（MLE）法[1]和贝叶斯（Bayes）法[2-4]，讨论区间估计的文献较少.在此基础上若对正常应力水平下可靠性指标进行区间估计时，往往利用参数的渐近正态性，从而得到可靠性指标的近似置信区间[1，5].文献[6]针对Weibull分布下单应力恒加试验中的可靠性指标提出了一种较为精确的参数估计方法，即构造某些枢轴量，并利用Monte-Carlo法计算出枢轴量的分位点，从而得到正常应力水平下可靠性指标的置信区间.目前绝大多数文献针对Weibull分布场合恒加试验的统计分析主要讨论单应力的情形，而双应力恒加试验较之单应力恒加试验在加速模型上要复杂不少，因单应力恒加试验中加速模型只有两个参数，而双应力恒加试验中加速模型有四个参数.以下将文献[6]中的方法推广到Weibull分布下双应力恒加试验的场合，同时在相关定理的证明上也给出了较为便捷的方法.

1 基本假定

A1加速应力S(1)和S(2)的加速应力水平分别为：

A2在lk个加速应力水平组合下各安排一个寿命试验.从一批产品中随机抽取n个样品，分为lk组，在(i,j)下的样品数为nij，有.在(i,j)下对nij个样品进行定数截尾寿命试验，截尾数rij，所得截尾样本为：

A3各应力水平组合下的寿命均服从Weibull分布，即Tij～W(mij,ηij) ，其分布函数为：

诸mij＞0为形状参数，诸ηij为特征寿命.

A4在各应力水平组合下产品的失效机理不变，即：

A5特征寿命ηij与两个加速应力水平和间的加速模型为：

其中β0,β1,β2,β3为待估参数，φ1,φ2,φ3常为已知函数，上式最后一项为两个应力间的交互作用[7].

2 参数的点估计

对可靠性指标的区间估计是建立在参数的点估计基础上的，故需先讨论参数的点估计.

由Tij～W(mij,ηij) 可得：Xij=lnTij～G(μij,σij)（极值分布），其分布函数为：

以下以BLUE（最佳线性无偏估计）为例进行讨论，GLUE（简单线性无偏估计）可类似讨论.

由文献[8]可知，当nij≤25时，μij和σij的BLUE为：

其中BLUE系数C(nij,rij,v)，D(nij,rij,v) 及BLUE方差系数Arij,nij，lrij,nij数值可查文献[9].

前述基本假定A4中，各水平组合下mij相等，即相等，由于试验的随机性，所得σ不可ij能完全相等，考虑由lk个求得一个共同σ的估计，从而得m=1的估计.σ

由高斯-马尔可夫定理，可得β的BLUE为：

设(X'A-1X)-1=C=(Cij)，则

3 正常应力水平组合下可靠性指标的区间估计

对正常应力水平组合(0 ,0)下可靠性指标的区间估计一般地是建立在以作为的近似分布前提下，所得到的是近似的置信区间.以下将文献[6]中的方法推广到Weibull分布下双应力恒加试验场合.

3.1 两个定理

定理1统计量的分布与参数无关.

证明：

其分布与参数无关.

定理2统计量的分布与参数无关.

证明：

则μ=Xβ

又

故

Wβ0的分布与参数无关.

3.2 m的区间估计

m的1-α单侧置信下限为：

3.3 特征寿命的区间估计

由加速模型可知：

令

即W与同分布.

由定理2可知W的分布与参数无关.设其下p分位数为Wp，则可得μ00的1-α置信区间为，1-α单侧置信上限为.

η00的1-α单侧置信下限为：

3.4 可靠寿命的单侧置信下限估计

在正常应力水平组合(0 ,0)下可靠度为r的可靠寿命.

设

令

又因为W与V的分布与参数无关，故R的分布亦与参数无关.设R的下p分位数为Rp，则可得Xr的1-α单侧置信下限为

由Xr=lntr可得tr的1-α单侧置信下限为：

3.5 加速系数的区间估计

加速应力水平组合(i,j)对正常应力水平组合(0 ,0)的加速系数为

则

设

令

由定理2可知M的分布与参数无关.设M的下p分位数为Mp，则可得Y的1-α置信区间为，Y的1-α单侧置信下限为.

由Y=lnτij～00可得τij～00的1-α置信区间为

τij～00的1-α单侧置信下限为

3.6 例证

以温度T和电压V作为两个加速应力作定数截尾恒加试验，寿命服从Weibull分布，应力水平如下：T0=353,T1=373,T2=388,T3=403,T4=415；V0=100,V1=200,V2=300,V3=400

在其中6个加速应力水平组合下安排了试验，结果如下：

表1 试验数据

表2 中间计算结果

得σ的无偏估计，则

若以近似正态性来作区间估计，则̂近似服从，其1-α近似置信区间为

取α=0.10，可算得σ的90%置信区间为(0.4079,0.9891)

进而可得m的90%置信区间为(1.0110,2.4516).

表3 分位数Vp

取α=0.10，可得m的90%置信区间为(0.9341,2.0000).

与用近似正态性所得的置信区间相比较，该区间估计的精度有所提高.

另再取α=0.05和α=0.01，每个置信度下均采用两种区间估计方法进行计算，结果如表所示：

表4 两种区间估计方法结果比较

对比以上两种方法的区间估计结果可知，在同一置信度下，本区间估计方法的精度较之于近似正态性的方法均有提高，且置信度越高，精度上的优势越明显。