化归思想在数学应用中的五种思维形态

姬梁飞

摘    要：化归思想不是一成不变的，它是发展的、创新的.随着教育条件和学习环境的变化，它的教育形态是升华的、多元的、趣味的、易亲近的.教师应该研究化归思想的意境与魅力，运用教育智慧和教学逻辑去自然绽放其在应用过程中的思维形态.

关键词：化归思想;数学知识;教育形态;数学思维

一般地，数学界将数学知识的存在形式分为原始形态、学术形态及教育形态.原始形态的知识被认为是客观的、稚嫩的、尚待完善的，学术形态的知识被认为是美丽的、高贵的、冰冷的.国际数学教育委员会前主席H.弗赖登塔尔曾评论道，任何一种数学思想的公开发表形式均非是它当初被发现时的模样，一旦它被作为解决问题的工具时，就相应地发展成某种形式化的技巧，至于它的求解与发现过程则被漠视在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽[1].教育形态的数学知识是知识在教育环境下所呈现的形态，也是需要教育工作者进行转化的知识形式.张奠宙教授曾主张将数学知识的学术形态转换为教育形态，并作为数学教学的基本目标之一[2].他认为，学术形态的数学往往表现成一种冰冷的美丽，教育形态的数学却是一种火热的思考[3].化归是转化和归结的合称，它是一种思维方法，是提升学生数学素养的利器.化归思想的构建与完善经历了原始形态和学术形态，数学教育工作者的职责是把它的学术形态转换为合适的教育形态.重视教育语言与学术语言的表述差异、教育形态与学术形态的知识功能差异、学生与教师的思维层次差异.教师需要引导学习主体深刻理解隐藏“冰冷美”背后的知识本质和思维过程，让化归思想的“冰冷的美丽”回归于学习者的“火热思考”，用教育智慧和逻辑去表達与转化，充分暴露化归思想形成的思维形态.本文谨从化归思想在数学应用中的五种思维形态入手，阐释化归思想在应用中的一般路径.

一、从合情推理到公理系统的演绎

思维的推演离不开化归思想，逻辑系统是数学中应用化归思想比较显著和高度集中的一个板块.早期，人们根据已有的事实或问题，通过观察、分析、联想、比较得到一些合乎情理的推理论断，这种推演方法主要是类比和归纳，也统称为合情推理.例如，类比平面直角三角形中的勾股定理（a2+b2=c2），推演出空间直角四面体的性质，即三个直角面的面积平方和之和等于斜面的面积平方（S12+S22+S32=S2）.这些推理过程借助化归思维，将三维空间“降维”为二维空间，用二维空间图形性质类推立体图形性质.演绎推理是从已知的一般原理出发，推出研究对象在某种特殊情况下具有的性质，带有抛砖引玉、借古讽今、以旧引新的意蕴.波利亚曾指出“合情推理是冒险的、有争议的、暂时的”.事实上，演绎推理，既要有合情推理的成分，又要有论证推理的证明.后来，欧几里得利用演绎推理将《原本》转化为一个典型的逻辑系统，用尽可能少的原始概念和不需证明的原始公设.这种公理化方法在数学发展史上具有丰碑式的不朽价值，它基本上完善了初等几何理论体系，此后这种公理化方法被迅速应用到社会科学和自然科学领域.正如波利亚所言，欧几里得几何不仅是一个公理系统，而且是此类系统中的第一个，也是最了不起的一个，其他科学领域已经而且至今都在努力模仿[4].

化归思想是如何渗透其中的呢？首先，化归方法有助于几何学研究对象的确立.几何学的研究内容繁多，需要通过化归方法将烦琐的几何要素归结为最普遍情形予以考察.研究几何问题，只需抓住几何研究要素中的本质特征，即研究对象：点、线、面.其次，公理系统的建立需将系列的、具体的事实概括、转化、归结为一般公设、公理.从这些公设、公理出发，超越事物的具体表象，寻求几何世界里的普遍规律，利用化归与演绎方法，将公理、公设逐步推演出467条定理.最后，化归思想促进欧氏几何公理系统的不断完善.在认识世界的过程中，人们通过观察、实验、推理等方式获得知识经验，这些经验的真理性、完备性、相容性都需要得到检验和辨别.从逻辑结构上看，初等几何理论作为一个封闭的演绎体系，从基本假设演绎出众多复杂的结论，从一般原理到特殊问题的推理，这些结论和推理都需要经过严格的数学证明，而证明思路的发现、构建、实施，除了必要的逻辑规则外，较大程度上还需依赖于基本的数学思想方法，尤其是化归方法.通过化归方法的辅助证明，几何公理系统更加条理化、系统化，走向相容和完备，最终趋于成熟和完善.

二、从具体表征到数学抽象的归结

从哲学角度看，表象与本质是人们研究事物外部表现和内部联系的一对辩证法概念.表象是事物外部的具体表现，本质是事物内在的根本属性，两者是辩证统一的，表象反映本质，本质决定事物的内涵和发展趋向.在实践中，需要去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里，最后实现从现象到本质、从不深刻到更深刻的无限过程[5].从心理学角度看，事物表征分为表象、图式以及认知地图.一方面它代表着客观事物形态，并反映客观事物的特征.另一方面，它是外界事物在人们心理活动中的再现，是人们心理活动需要持续加工、建构的目标对象.转化思想在具体表征和数学抽象之间的转换有双层内涵.具体来说，有两种体现，以无限观为基础的极限论和以坐标系为基础的数形互化.

综上所述，研究化归思想的思维形态有利于优化数学知识的教育形态，升华数学知识的学术形态，将数学知识真正转化为数学能力、数学素养，将隐藏在“冰冷的美丽”背后的数学本质、数学思维呈现出来.化归思维也能够引发学生的合情思考，领会知识的来龙去脉，提升学生探求知识的愿望，这种愿望才是他们持久学习的内驱力.

参考文献：

[1]FREUDENTHAL H. Didactical phenomenology of mathematical structures[M]. Dordrecht： Reidel， 1983： 9.

[2]张奠宙.关于数学知识的教育形态[J].数学通报，2001（5）：2.

[3]张奠宙，王振辉.关于数学的学术形态和教育形态——谈“火热的思考”与“冰冷的美丽”[J].数学教育学报，2002（2）：1-4.

[4]波利亚.怎样解题：数学思维的新方法[M]. 涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2011：198.

[5]列宁.列宁全集（第38卷）[M].中共中央马克思恩格斯列宁斯大林著作编译局，编译.北京：人民出版社，1986：239.

[6]徐利治.论无限——无限的数学与哲学[M].大连：大连理工大学出版社，2018：14-29.