“找点”问题的解法探究

刘彦永

(东北师范大学附属中学 130021)

一、“指数”和“对数”互助

导数压轴题中函数的解析式常出现的就是指数“ex”和对数“lnx”的形式，在“找点”问题中可以适当地利用指数和对数的关系巧妙“赋值”解决问题.下面以一个题目为例具体来说明.

题目已知常数c<0，证明：函数f(x)=clnx-x2有唯一零点.

本题中含有“clnx”，故取“x0=e1/c”可以将对应项转为常数，更有利于解决问题.事实上，“指数”和“对数”互助的核心想法就是去“超越性”.比如，在含有“ex”的表达式中取对数形式“x0=lnt”即可化为“ex0=elnt=t”，将“超越性”降为熟悉的一次式，同理可以转化含有“lnx”为一次式.由于试题的灵活多变，我们也要具体问题具体分析“指数”和“对数”怎样互助更有效.

二、“大鱼”吃“小鱼”

当a>1时，随着x的增大，函数logax、xa和ax的增长速度依次变快，即x充分大以后有logax

已知函数f(x)=ex-ax2．

(1)若a=1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点，求a．

非常遗憾的是，这种叙述在高考中会因“不严谨”而扣分，需要学生找到x1∈(0,2),x2∈(2,+∞)使得g(x1)>0,g(x2)>0，再结合零点存在性定理严格说明方可得满分.

通过“大鱼”吃“小鱼”可以有效地将超越方程(不等式)转化为学生熟悉可解的方程(不等式)，从而顺利解决“找点”问题.尽管如此，要想真正掌握“大鱼”吃“小鱼”这一方法，我们还需要熟悉一些常见基本的“大鱼”吃“小鱼”的不等关系(见下表)，通过对变量替换还可以得到更多的“大鱼”吃“小鱼”不等式关系.

类型指数函数对数函数一次函数ex≥x+1ex≥ex>xlnx≤x-1lnx≤1ex2(x-1)x+1(x>1)其他函数ex≥16x3+12x2+x+1(x≥0)lnx≤12(x-1x)(x≥1)

三、分而治之二、分而治之

有些“找点”问题中不等式很难解甚至不能解，采用分而治之的方法寻找它的充分条件却非常凑效.通过分而治之的方法将已知条件分拆成两个函数之和或两个函数之积，得到成两组不等式，通过解不等式组处理问题.下面以2016年新课标1卷理科数学21题为例具体进行阐述.

已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.

(1)求a的取值范围；(2)略.

分而治之适用的条件是已知条件具有“和”或“积”的形式，同时要注意尝试合理恰当的分拆已知条件，才能使得不等式能解、易解.

总之，三种方法各有千秋，不同的题目几种方法的简繁程度不一致.读者可以通过以下题目进一步体会何时采用何种方法更简便.

题目1：求证：当a>0时，函数f(x)=x+alnx有且仅有一个零点.

题目2：求证：当a>e时，函数f(x)=ex-ax有两个零点.

题目3：求证：当0

“找点”问题是新高考的热点和难点问题，对这类试题解法的探究仅仅是试题研究的一个开端.对解法的探索使我们的思维更广阔、思想更深刻.对本质的探源，使我们更深刻的认识问题，将新旧解题经历跨时空贯通起来，这又是一个新的开始.