探究高考真题 培养数学素养——2018高考试题在高三复习中的教学运用

陶新芝

(江苏省昆山中学 215300)

一、教学实践

(2018年高考数学江苏卷第13题)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为____.

教师：求二元变量最值有哪些方法？

学生1：选择参数表示4a+c,转化为求函数最值.

学生2：先建立a,c的等量关系，再求最值，比如考虑用基本不等式或消元构建函数.

教师：两位同学提出的想法，为我们指明了思考的方向.大家不妨先用学生1的方案求解.(先独立思考，再分组讨论，梳理过程.教师投影)

教师：以上三种解法选用不同的参数表示4a+c，都算出了正确答案，大家也体会到了运算量还是比较大的.解法2和解法3都是从建系的角度入手，但是计算的烦琐程度却不同，大家对比两种解法，思考一下对我们今后解题有什么启示.

学生3：建系时，要考虑图形的对称性；求解最值时，观察解析式的结构特征，选择合适的方法.

教师：总结得很好.除了利用函数思想，学生2提出利用a,c的等量关系求4a+c最小值，请大家尝试一下.

学生4：在△ABC,△ABD,△BCD中分别使用余弦定理，利用等式AC=AD+DC,得

教师：以上四位同学抓住A,C,D三点共线和BD为角∠ABC的平分线，结合解三角形或平面几何相关知识建立了a,c的等量关系，其中学生6、学生7和学生8的解法看起来都比较简捷.大家还有其他方法吗？(学生表示想不到其他方法了)

教师：我们在前面的学习中知道，可以利用向量刻划三点共线和角平分线，能否利用向量知识得到a,c的等量关系呢？请分组交流探究解决思路.

教师：笛卡尔有句名言：“我解决过的每一个问题都成为日后用于解决其他问题的法则.”这句话在讲积累解题经验的重要性.通过对这道高考题的探究，大家学到了什么？

学生9：解决二元最值问题的常用方法，可以选择参数建立函数，也可以利用基本不等式.解题时遇到三点共线时，除了利用解三角形和平面几何知识解题，还可以利用向量知识解题.

教师：总结得很到位.从解题思想上来说主要用了函数、转化与化归、数形结合等数学思想.同学们进一步思考一下，如果改变题目的条件，可以提出那些问题呢？

学生10：把BD为∠ABC的角平分线，改为BD为中线或者改为BD为高线，求4a+c的最小值.

教师：很好，由三角形角平分线，联想到中线和高，对题目进行改编. 改编的新问题能否依据今天的解题经验，选择合适的方法解决呢？由于课堂时间限制，请大家课后思考给出解答，下节课我们展示大家的研究成果.

二、教学反思

1.培养数学素养，需要预设“好”题

高三复习课需要精选好题，把高考题引入课堂，有利于激发学生的研究兴趣.本题背景熟悉、题面简洁，表述通俗，且意图清晰，给学生亲切感，符合学生的认知规律.本题的素材来源于教材，在诸多基础知识和基本方法的交汇处命制，兼顾基础性和综合性，能反映知识间的横向和纵向联系，从解三角形的视角入手，从建立平面直角坐标系以数辅形的视角入手，从平面几何的视角入手，从平面向量的视角入手，均能得到问题的解题思路，有助于启发学生思考，发散学生思维，提升数学思想方法运用的灵活性.

2.培养数学素养，需要把课堂还给学生

数学教学活动是数学学科素养培养的主要途径.在数学课堂教学中要把发展学生思维，培养数学核心素养放在首位.教学过程中坚持以数学知识为载体，思想方法为依托，引导学生“用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”.培养数学核心素养就要把课堂还给学生，引导启发学生独立思考，当个体自主探究出现障碍时，采用小组合作交流的方式使得学生的思想得到碰撞，让数学课堂成为在思维碰撞中产生智慧火花的课堂. 据此本节课笔者预设问题情境，先给学生留出时间独立思考，形成个人初步认识；再分组讨论，师生共同交流探讨；最后梳理大家的智慧，形成解题经验.