探究曲线公切线问题

梁宗明

(甘肃省兰州市兰化一中 730060)

曲线的切线问题是导数体系中一个非常重要的高考考点，题目设置一般比较单一，但是近几年关于曲线公切线问题层出不穷，题型琳琅满目，整体难度呈“螺旋式”上升趋势，但处理思路比较统一.本文将其归纳为六种类型，逐一分析，以飨读者.如果直线l同时是曲线C1和曲线C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.

一、已知公切线过定点型

二、已知切点型

例2(2015全国卷)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=____.

三、已知公切线含参型

例3(2016全国)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=____.

四、判断公切线条数型

例4(创新)如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，则曲线C1：y=x2和曲线C2：y=x3的公切线条数是____.

五、先判断条数再计算公切线型

六、综合判断型

例6(天津卷)已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；a取什么值时，C1和C2有两条公切线？C1和C2不存在公切线？