细线绕柱问题的再探讨

赵继峰 姜付锦 邱为钢

(1.湖北省武汉市黄陂区第一中学 430300；2.浙江省湖州师范学院求真学院公共教研部 313000)

细线绕柱问题是中学生物理竞赛训练题的一类常见题目，一个质量不计的细线，一端固定在圆柱表面，一端系着一个大小不计的小球.起始时刻把细线拉直并给小球一个垂直细线方向的速度，问小球如何运动.圆柱是有高度的，但几乎所有的解答默认为圆柱是没有高度的，细线和小球在垂直圆柱的平面内(地面上)运动，完全忽略重力对小球的影响.读者真的去做这个实验，用一个筷子系一条绳子，绳子一端系一个螺丝帽等重物.你会发现，这是个三维运动问题，细线在圆柱上绕出一个类似螺旋线的曲线.中学师生想当然的把这个三维运动问题自动转化为两维运动问题，就算文献中明确写出“立一个圆柱”，作者还是认为是两维曲线问题.假如这个柱不仅是圆柱，还有可能是圆锥或球面，文献中的结论-物块速度垂直于悬线-还成立吗？曲面上绷紧细线上张力怎么分布？

从实际物理角度考虑，曲面应该是粗糙的，在柱面上绷紧的细线不会在细线垂直方向上移动，我们也假设曲线面外的细线部分也是绷紧的，以弧长为参数，细线在曲面上和曲面外分界点的坐标是

当然这个坐标满足曲面的隐函数方程F(x,y,z)=0.这个分界点在曲面上移动，形成一个三维曲线.设曲线在这个点的切线方程是：

其中三个方向角分别是切线方向与三个坐标轴的夹角，按定义有：

满足以下约束：cos2α+cos2β+cos2γ=1 (4)

设细线的总长度为L，那么细线末端小球的坐标是

x′(s)=x(s)+(L-s)cosα

y′(s)=y(s)+(L-s)cosβ

z′(s)=z(s)+(L-s)cosγ(5)

(4)式两边对时间求导，得到小球的速度是：

于是运动小球速度与细线方向的内积(点乘)为

(4)式两边对时间求导，得到

写开来就是

举一个例子来说明(13)式的计算.球面上一个细线，参数方程是：

其中E(φ，k)是第二类完全椭圆积分.这种情况下与粗糙圆柱面上细线张力类似，随着参数的变化，张力指数增长.

跳离中学物理训练题无论什么情况都是默认为两维平面运动的模式，考虑到了真实场景，得到了三维曲面上细线绷紧运动时，末端物块速度也是垂直细线的结论.对于粗糙曲面上的三维缠绕细线，张力也是随着参数指数增长的.