高中数学概念教学之我见

杨武健 张启蒙

(浙江省天台中学 317200)

一、当前概念教学的现状

在当前的数学课堂教学中，仍然存在轻“概念学习”，重“例题讲解、练习模仿、习题巩固”的现象.为获得学生眼前的数学成绩，高中数学概念教学只剩下干巴巴的“一个定义，两项注意，几个反例……”.因此，造成概念的产生是空降的，概念的过程是空泛的，概念的体验是肤浅的，概念的规定是莫名的.数学课堂的“习题教学”与“概念教学”是割裂的、互斥的，甚至是风马牛不相及的.由于数学概念在学生的脑海中只残留下模糊的片段，导致学生在解决数学问题时只能是简单的模仿，机械的重复，熟能生巧而已.

数学从根本上来说是玩概念的.数学概念是数学学科的基石，也是培养学生数学素养的最好载体.在数学课堂教学中，为什么要提出一个概念？如何恰当地定义一个概念？如何体现一个概念定义的合理性，如何让学生体验概念形成的过程，体会概念定义之科学性和严谨性？如何及时巩固概念教学之成果，是值得每一个数学教育者深思的.

二、高中数学概念教学的几点改进

1.讲清数学概念的源和流

概念的“源”即指概念的“前世今生”，概念的“流”即指概念的“实际应用”、“未来走向”.一个学生刚开始接触一个概念，只有清楚它的来龙去脉，才能深深地留下“初识”.这一“初体验”能很好地激发学生的学习兴趣，诱惑学生的“探索欲望”，培养学生的应用意识.对于数学概念，学生只有“知其然，知其所以然”，才能避免机械地记忆，生搬硬套地使用.请看案例1《数系的扩充与复数的概念》.

案例1 数系的扩充与复数的概念

首先，我们要讲清数系发展的缘由，数系发展的规律.这样才能使学生明了复数产生的背景，理解复数发展的缘由，感受数系发展的规律，深刻体会复数产生的必然性，发展的合理性.也为今后数系的进一步扩充打下基础.

因此，在《数系的扩充与复数的概念》这堂课中，一定要讲清从自然数发展到实数的产生缘由：一是由于实际生活的需要；二是数学内在发展的要求.如从自然数扩充到整数，最初源于古代物物交换的需要，以及物物交换所产生的多少问题，原有的自然数就不够用了，它无法解决负数问题，于是引入负整数成为一种必然.这样既继承了原有的加法法则即原有的算律不变，又发展了新的算律——“减法”产生了，既解决了实际问题，又解决了形如方程“x+3=2”在自然数范围内的无解情况，使得数学得到了进一步的发展.这样复数的产生就不难理解了.它要解决负数开方问题.让原有的一些在实数范围内无法解决的问题得以解决.

一个概念，只有了解概念之“源”，才能思考概念之“流”，从而学会数学之思.概念之“流”，是数学发展之“未来”，也是数学未来之趋势.了解数学之“流”，有利于提升对数学的再认识.请看案例2《复数域还能扩大吗？》.

案例2复数域还能扩大吗？

我们经历了数集从自然数集到复数集的扩张，在每一次扩张中，人们都遵循了如下的几条原则：(1)扩张的目的；(2)扩张后的集合要扩大；(3)保持原有的运算；(4)扩张的最小性与唯一性.我们已经看到，数集的每一次扩张，人们都能够解决一些在原数集中不能解决的问题，所以人们自然会想到，能否将复数集再进行扩充，使得在扩充后的新数集中能够进行四则运算，并且复数集是新数集的一个特例.不仅如此，还希望这新的数集可以同空间向量等同起来(类比实数是一元数，复数是二元数，自然猜想新数集是三元数)，使两者的加法运算相一致.

假设K是这样一个新数集.于是在取定了直角坐标系的空间中表示向量的三元数组(a,b,c)其中a,b,c∈R应该同K中的元素q=a+bi+cj对应起来，其中i是虚数单位，即i2=-1，j是添加到复数集中的一个新数.为了与复数集一致，在K中自然规定：a1+b1i+c1j=a2+b2i+c2j，当且仅当a1=a2，b1=b2，c1=c2.于是当a+bi+cj=0时，必有a=b=c=0.由于向量加法的定义是(a1,b1,c1)+(a2,b2,c2)=(a1+a2,b1+b2,c1+c2)，所以在K中的两个元素的加法自然规定为(a1+b1i+c1j)+(a2+b2i+c2j)=(a1+a2)+(b1+b2)i+(c1+c2)j.i与j相乘的结果自然要求属于K.故设i×j=a+bi+cj ①.用i左乘①式的两端，且由i2=-1，有-j=ai-b+ci×j， 也就是ci×j=b-ai-j. ②用c乘①式两端后减去②式的两端得(ac-b)+(bc+a)i+(c2+1)j=0.

由此得c2+1=0，这与c是实数矛盾.这表明新数集K是不可能存在的,所以复数集是满足加减乘除的最大集合.

清晰概念之“源”是对概念之“流”的进一步深化认识，也是数学认识与思考的再经历，他是数学的深度学习，也是数学思维之源，方法之根.

当然，教师要想把握好每个概念的“源”与“流”，必须练好内功，苦读数学史，清楚数学发展的整个历程.只有不断积累，才能厚积薄发，得心应手.

2.道明数学概念给出的“情” 与“ 理”

数学概念给出的“情”即指“合情”，指的是每一次说明能符合我们的直观感知,也能经得起逻辑推理；数学概念的“理”即指数学概念的给出都能经得起严格推理，具有科学性和严谨性.同时数学概念的给出还要体现数学所要追求的“简洁”、“优美”，体现数学概念的美，散发数学的无穷魅力.只有这样，才能用数学的“冰冷”催生学生的“火热”.

(1)数学的概念要符合人的直观感知，也为数学的进一步研究提供最优的奠基

如：为什么要规定平行于x轴或与x轴平行的直线的倾斜角为0°呢？一为概念的完备性与严谨性，因为直线倾斜角刚开始定义了直线与x轴相交时，未包括这一类，若不加以补充，数学研究对象不完备；二为对象的唯一性，若定义为0°或180°，那就不能建立倾斜角与直线的一一对应关系，也构建不了函数关系.另一角度，也可从规定的延续性与合理性角度理解.因为直线与x轴相交时，规定x轴正方向与直线向上方向的夹角，而一般向上方向指的是正方向，而0°也比180°更符合人的视觉感受.再如：为什么把直线的斜率定位为倾斜角的正切值，而不是正弦值或余斜值？若定义为正弦值，一则会出现两条直线对应同一斜率，如45°与135°，而正弦的有界性也与倾斜角给人的视觉感受不符，如倾斜角为90°直线是非常“陡”的，正余弦都无法体现这一点.那么用正切值去定义即符合人的直观感知，又能从数值上体现倾斜角的变化规律.

(2)数学的概念是讲“理”的

如：为什么将复数的形式写成z=a+bi(a,b∈R)，若教师不解释，学生将会疑惑不解.为此，我们可以为学生设计这样的问题. 根据数系扩充的规律，数系扩充后，原有的运算律在新的数系中仍然适用，那么将复数i与实数进行四则运算，它能产生哪些结果？它们能否用一种形式加以概括？这样设计，可以让学生明了复数定义的“理”.

再如：一般地，两个复数为什么不能比较大小呢？若复数可以比较大小，如i与1，若i>1，则i2>12，得-1>1显然不成立；同样可以证明i<1，i=1都是不正确的.否则，复数系就不能继承原有实数系范围内的运算律.这样又从另一方面说明数学是讲“理”的.

(3)数学的概念是严谨的

如：规定a0=1(a≠0)，目的为了使得指数幂运算性质am·an=am+n(a>0,m,n∈R)成立，否则当m+n=0时，上述运算性质不成立.同样规定 0！=1，也是如此.

(4)数学的概念是求美的

(5)数学的概念追寻一种寻“定”求“最”的原则

如在直线与平面的所成角定义中，规定平面内的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角为直线与平面所成的角.这既符合人的直观想象，也符合数学的逻辑推理、数学定义的一贯原则.因为最小角定理保证了斜线与它在平面内射影所成的锐角为斜线与平面内任何一条直线所成的角中最小的且唯一.异面直线所成角，二面角等概念亦是如此.

3.创好情境，举对例子，设好问题

数学的一个本质是抽象，它的一个突出表现即为概念.学生对于概念的把握总有许多困难，这就要求我们设好问题串，引导学生思维，逐步化解难点，直击数学本质.

4.准确定位“例题教学”与“ 概念教学” 之间的关系

在当前功利心的驱使下，很多概念教学常常“变异”成“15分钟的概念讲解”+“25分钟的例题讲解及练习巩固”，这样的授课把概念的讲解服务于例题教学，看似得到了很大的眼前利益，实则牺牲了学生的长远发展.因为每一个概念的产生、发展、应用以及背后的“过程”蕴含了丰富的数学思想方法、深刻的数学精神.明确例题教学也是概念教学的有机组成部分，并在例题教学中让学生进一步理解数学概念本质.

高中数学概念的教学，是高中数学教学的重中之重，是培养学生素养的主阵地，它要求我们学会用数学的眼光看问题，用数学的语言表达问题，会用数学的思维解决问题.