联合决策下的供应链供需同步库存模型优化

李群霞

（北京科技大学东凌经济管理学院，北京 100083）

1 引言

库存控制在供应链管理中起着关键的作用。合理控制库存可以满足客户的需求，有效设计生产计划，降低生产和订货成本。由于库存控制所涉及的环境复杂，特别在供应链环境下，因此许多研究学者对模型进行了简化。Li和Liu[1]采用数量折扣方法协调随机需求。Goyal 和Giri[2]在模型中假设需求、生产、缺陷率是变化的。Rau, Wu 和Wee[3]在不存在缺货前提下，研究缺陷品对供应链库存的影响。Wang,Lin 和Yu[4]研究了三级供应链库存模型，假设有生产商、零售商和客户，生产商只向零售商提供货物，零售商只向客户提供出售货物。Wu和Ho[5]允许存在缺货，将订货点作为决策变量，同时优化订货量、订货点、提前期和订货次数。Ouyang和Chuang[6]将补货率作为控制参数。Ben-Daya 和Hariga[7]假设提前期参数随订货量线性变化。Chandra 和Grabis[8]假设订货成本与提前期参数相关。Wu和Ho[9]在联合库存模型中考虑了缺陷生产过程和可控提前期。Huang,Tsai,Wu,和Chung[10]假设允许缩短订货时间和延迟付款。Huang and Hsu[11]研究两级信用周期，其中零售商对客户只提供部分商业信用。Chung和Wee[12]在三级库存模型中研究了补货机制。

与参考文献所研究的内容有所不同，本文将深入研究客户的订货库存行为。结合客户在订货点的库存水平和客户的需求率，将客户的订货库存行为分成三种不同的订货行为：缺货行为、完全消耗行为和部分消耗行为。并根据这些不同的订货库存行为，对各个供应链供需同步库存模型进行比较，系列地分析在不同订货库存行为下，客户货物消耗和生产商货物生产对联合库存成本的影响、以及对订货量和订货次数的影响。具体如下：分别得到客户的三种不同的客户订货模型，分别与生产商的生产库存模型相结合建立起不同订货行为下的供需同步库存模型。在供应链库存联合决策环境下，优化供需同步库存模型，以此获取最佳估计结果。在此基础上，分析和比较三种行为在优化结果和联合库存成本上的差异。

2 供应链库存行为描述

具体涉及的参数定义见表1。图1（a-c）分别反映客户在缺货行为下、完全消耗行为下和部分消耗行为下的库存水平变化情况，图1（d）反映生产商库存水平的变化情况。客户的需求率D为常数，在提前期L起始时，即t1时刻末为订货点，客户向生产商订货Q件。生产商立即响应客户的订货要求，开始生产产品。在L时刻末，生产商至少生产Q件产品以满足客户第一次需求。Q件产品会瞬时到达，客户的库存会及时补货。生产商会一直生产产品，直到生产nQ件产品来满足客户的n次订货需求才结束生产。

表1 变量及其含义

图1 客户-生产商的库存变化水平

3 供需同步库存模型

3.1 客户库存成本

如图1（a-c）所示，客户的需求率D为常数，且，可得：

因此客户的持有成本和缺货成本为：

考虑客户的订货成本为Ar，其平均库存成本Cr为订货成本、持有成本和缺货成本之和，即：

（2）完全消耗行为。如图1（b）所示，在完全消耗行为下，有Ir(T-)=r-LD=0，即r=LD=λQ，因此式（1）条件为：

因此客户库存成本为订货成本、持有成本之和，即：

（3）部分消耗行为。如图1（c）所示，在部分消耗行为下，有Ir(T-)=r-LD＞0，即r＞LD=λQ，因此式（1）条件为：

与完全消耗行为相同，客户库存成本为订货成本和持有成本之和，即：

3.2 生产商库存成本

如图1（d）所示，生产商只在0≤t≤Tm内生产了nQ件产品，在Tm＜t≤nT期间，生产商已经停止了生产。生产商每隔T时间向客户供货一次，每次供货后生产库存削减了Q件。nT时间内共供货n次，在供货n次后，生产库存为0。综上所述，生产商的库存持有成本为：

另外生产准备成本=Am，且ρ=D/P，则生产商库存成本Cm为

3.3 联合库存成本

（1）缺货行为。先分析缺货行为的联合库存成本，完全消耗行为和部分消耗行为是缺货行为的特例，联合决策优化方法相似。结合式（4）和（10），可得供应链联合库存成本为：

将其代入式（11），整理后得：

将式（14）代入式（12）可得：

将式（14）和式（15）代入式（11）中，可得联合优化决策下的总平均库存成本为：

（2）部分消耗行为。当r＞λQ=LD时，结合式（8）和（10），供应链联合库存成本可变为：

也可采用相似的联合决策优化方法对上式求最优解：

与式（14-16）相比，上面估计公式中删除了三项，即：r2(sr+hr)、λ2(sr+hr)和-λ(sr+hr)r。

（3）完全消耗行为。当r=λQ=LD时，结合式（6）和式（10），供应链联合库存成本可变为：

也可采用相似的联合决策优化方法对上式求最优解：

与式（18）相比，r=λQ=LD情况下，估计等式中(hr-hm)(1-2λ)项变为hr-hm(1-2λ)，另外成本估计等式删除了hrr项。

由式（14-15）、（18）和（20）可知，订货总量n*Q*在这三种客户消耗行为下是相同的，为

4 算例分析

下面验证联合决策下的供应链供需同步库存模型的有效性。假设客户和生产商的库存参数如下：

（1）一次订货（客户）：Ar=100 元/次，D=2 000件/年，hr=20件/年，sr=50件/年，r=50件，λ=0.1。

（2）一次生产（生产商）：Am=10 000 元/次，P=40 000件/年，hm=10元/件/年。

表2 r＜λQ，r=λQ和r＞λQ的最优值比较

将以上库存参数代入式（14-16）、（18）和（20），可得表2中最佳参数估计值。从表2可知，只有在r＜λQ情况下会存在缺货现象。在现实环境中，单位缺货成本sr要远大于单位持有成本hr，因此缺货现象会导致联合库存成本要明显高于r=λQ和r＞λQ这两种不存在缺货现象的特殊情况。当r=λQ时，每次订货量恰好满足客户在这次订货周期内的需求，在订货周期末，库存水平变为0，因此没有留下任何产品。而在r＞λQ情况下，会存在残余产品存放在库存中，因此相比r=λQ情况，会产生更多的库存持有成本，因此联合库存成本也要高于r=λQ情况。对于订货次数和订货量，从表中可知，订货总量n*Q*是相同的，与式（21）得到的结论相同。r＜λQ情况下相比r=λQ和r＞λQ需要更大的订货量，而订货次数有所减少。具体有

5 敏感性分析

5.1 α=Am/Ar对n*,Q*,C*的影响

设Am在区间[2000,4000]变化，Ar值和其它库存参数值不变，则α=Am/Ar在区间[20,40]变化，n*,Q*,C*随α=Am/Ar变化趋势如图2所示。不同行为的n*和C*值都随α值的增大而增大，而Q*值不变。缺货行为的n*曲线始终在最下方，而Q*曲线和C*曲线始终在最上方。相反，完全消耗行为的n*曲线始终在最上方，而Q*曲线和C*曲线始终在最下方。可见，完全消耗行为的联合库存成本最低，部分消耗行为的联合库存成本次之，缺货行为的联合库存成本最大。

图2 α=Am/Ar对n*,Q*,C*的影响

5.2 β=hr/hm对n*,Q*,C*的影响

设hr在区间[15,30]变化，hm值和其它库存参数值不变，则β=hrhm在区间[1.5,3.0]变化，n*,Q*,C*随β=hrhm变化趋势如图3所示。三种客户行为的Q*值都随β值的增大而减少，而n*值和C*值都随β值的增大而增大。缺货行为的C*曲线斜率最大。缺货行为的n*曲线始终在最下方，而Q*曲线和C*曲线始终在最上方。相反，完全消耗行为的n*曲线始终在最上方，而Q*曲线和C*曲线始终在最下方。同样，完全消耗行为的联合库存成本最低，部分消耗行为的联合库存成本次之，缺货行为的联合库存成本最大。

图3 β=hr/hm对n*,Q*,C*的影响

5.3 ρ=D/P对n*,Q*,C*的影响

设P在区间[4000,8000]变化，D值和其它库存参数值不变，则ρ=D/P在区间[0.25,0.50]变化。n*,Q*,C*随ρ=DP变化趋势如图4所示。三种客户行为的Q*值都不随ρ值改变而改变，n*值都随ρ值的增大而增大，而C*值都随ρ值的增大而减小。三种客户行为相同参数的曲线几乎是平行的。缺货行为的n*曲线始终在最下方，而Q*曲线和C*曲线始终在最上方。相反，完全消耗行为的n*曲线始终在最上方，而Q*曲线和C*曲线始终在最下方。同样，完全消耗行为的联合库存成本最低，部分消耗行为的联合库存成本次之，缺货行为的联合库存成本最大。

5.4 r对n*,Q*,C*的影响

设r在区间[50,100]变化，其它库存参数值不变，n*,Q*,C*随r变化趋势如图5所示。缺货行为的n*值随r值的增大而减小，而Q*值和C*值都随r值的增大而增大。部分消耗行为的n*值和Q*值不随r值变化，只有C*值随r值的增大而增大，斜率不如缺货行为。完全消耗行为的所有参数值都不会随r值变化。缺货行为的n*曲线始终在最下方，而Q*曲线和C*曲线始终在最上方。相反，完全消耗行为的n*曲线始终在最上方，而Q*曲线和C*曲线始终在最下方。同样，完全消耗行为的联合库存成本最低，部分消耗行为的联合库存成本次之，缺货行为的联合库存成本最大。

图4 ρ=D/P对n*,Q*,C*的影响

图5 r对n*,Q*,C*的影响

6 结论

（1）本文研究了由单一生产商和单一客户组成的两级供应链库存问题。根据客户消耗库存的特点，将客户消耗货物行为分为缺货行为、完全消耗行为和部分消耗行为，由此分别建立了对应行为下的客户库存成本函数。结合生产商库存成本函数，建立了联合目标函数下的供应链供需同步库存模型，提出了联合决策的优化方法，证明了这三种行为下联合目标函数都存在最优订货量和最优订货次数。理论分析表明，完全消耗行为和部分消耗行为是缺货行为的两种特例。

（2）根据三种消耗行为的差异，本文进行了敏感性分析。缺货行为的订货次数曲线始终在最下方，而订货量曲线和联合库存成本曲线始终在最上方，而完全消耗行为曲线恰恰相反。在缺货行为下，客户更倾向于更少的订货次数和每次更多的订货量，但是与完全消耗行为和部分消耗行为的订货总量是相同的。

（3）缺货行为会出现缺货现象，而单位缺货成本要明显高于单位持有成本，因此缺货行为下的联合库存成本是最大的，要大于部分消耗行为的联合库存成本。另外，部分消耗行为会留下残余库存，因此会增加持有成本，相比完全消耗行为，联合库存成本有所增加，库存成本增加量依赖残余库存量。因此在现实环境中，会出现商家采用打折方法扫除尾货。敏感性分析表明，完全消耗行为的联合库存成本最低，部分消耗行为的联合库存成本次之，缺货行为的联合库存成本最大。