数学核心素养之直观想象：特征、层次与培养策略（上）

邓友祥

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）提出直观想象是六大核心素养之一，并对直观想象的内涵作出了明确界定：“直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。”其主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成解题思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。为有效落实直观想象这一核心素养的培养要求，改变传统数学教学过于关注学生具体数学知识、技能的形成，以切实提高数学教学效率，有必要深入探讨直观想象的基本特征与水平层次，并采取行之有效的教学策略。

一、直观想象的基本特征

鲍建生教授在“高中数学课程标准修订中的若干问题”的讲座中谈及“聚焦数学核心素养”，介绍了作为核心素养的直观想象的四个方面表现形式：利用图形描述数学问题；利用图形理解数学问题；利用图形探索和解决数学问题；构建数学问题的直观模型。在此基础上，《标准》提出直观想象主要表现为：建立数与形的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物。这在一定程度上体现了直观想象的基本特征。结合直观想象的内涵，其主要有如下基本特征。

（一）经验性

直观想象必须基于已有的知识经验和活动经验，所运用的知识组块和形象直感都是经验的积累和升华，并不断地组合老经验、形成新经验，从而不断提高直观想象的水平。[1]这一特征要求，平时数学教学要重视引导学生获得基本活动经验，并以此为基础帮助学生直观地理解数学。

（二）整体性

具有良好直观想象能力的学生，往往善于借助直观，从结构、关系、类别、层次及系统等各个角度看待事物，并将所获取信息有机整合为一个完整体系，这是一种整体思维观。这一特征要求，平时数学教学要确立整体联系观，引导学生借助直观了解数学知识之间的相同、相似、差异、不同等区别和联系，形成网络清晰、融会贯通的数学知识结构。

（三）逻辑性

既然直观想象借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，强调分析、综合与探索，建立数与形的联系，那么其必然表现出一定的逻辑性。这一特征要求，平时数学教学引导学生得出（发现、猜测）相关结论后，还必须要求学生做出合理的数学思考，依据已有数学知识经验和相关程序步骤，通过严格的逻辑推理得出科学结论，以逐步发展学生的逻辑结构。

（四）预見性

直观想象的结果通常会表现出新的突破，得到新的结论，或发现问题解决的思路、途径或方法，因此带有极强的创造性。这一特征要求，平时数学教学要向学生提供具有探索性和思考性的数学学习任务，引发学生深度的数学思考，拓展学生的想象空间，加强学生数学联想和猜想能力的培养，促使学生自觉或不自觉地运用组块与直觉，直接预测问题的结论。

二、直观想象的水平层次

目前中学数学教育界关于直观想象的教学与研究，更多仍停留在操作层面，对学生直观想象能力的培养缺乏应有的深度和效度。究其原因，实际教学中不少教师无法弄清学生的直观想象究竟处于何种水平，因而所采用的教学方法不能保证学生的思维水平能向更高水平进阶。因此，有必要对直观想象的水平层次做出深度的层次划分，其前提是必须要对直观和想象的分类有所了解。

关于直观的分类，康德从哲学视角给出权威的解释：“一类是经验直观，一类是纯粹直观。”[2]孔凡哲等人结合中学数学教学实际，认为几何直观具体可表现为实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观等四种表现形式。[3]

数学想象有着各种不同的表现形式，按照想象的特点来分，可以分成图形想象和图式想象两类；按照想象的深度来分，则可以分成联想（包括回忆、追想等）和猜想两类。图形想象是以空间形象直感为基础的对数学图形表象的加工与改造，是对几何图形的形象建构；图式想象是以数学直感为基础的对数学图式（数量关系的解析表现）表象的加工与改造。[4]

直观想象能力的发展具有一定的年龄规律，与之有关的几何学习理论主要有赫尔（P.H.Van.Hiele）的几何思维发展模型和杜瓦尔（Duval）的几何认知关系模型。1959年，荷兰数学教育家赫尔（P.H.Van. Hiele）经过研究，提出学生的几何思维发展可分为逐级升高的五个层次[5]（110-111）：只能按图形形状来区分———能对认识的图形形状加以分析———逻辑地认识几何图形———整体上理解演绎法的意义———超出对理论的任何具体解释而发展理论。

综上，并结合我国实际，笔者认为学生的直观想象必须经历直观到抽象、有形到无形、外在到内在、非逻辑到逻辑的过程。具体可将学生的直观想象水平分为如下五个层次（由低到高）：

第一层次：视觉水平。学生只能认识有形实物或直观模型，不能正确判断概念间的逻辑关系。此时，几何图形的认识仅凭视觉整体观察，只会按其形状（尚未加以分析）来区分。

第二层次：描述分析水平。学生能依据已有知识和经验，对认识的实物（或图形）形状加以分析，能描述这些形状的性质。但仍不能理解数学知识之间的逻辑关系，不能得到数学的逻辑结构。

第三层次：抽象关系水平。学生理解数学知识有时仍需一定的直观经验，能认识几何图形等知识之间的逻辑关系，并能进行简单的非正式推理，局部地实现了数学知识的逻辑整理，但不能从整体上理解演绎法的意义。

第四层次：推理水平。学生不再仅凭直观经验观察得出结论，习惯于强调概念思维，能综合分析和运用已有知识，通过逻辑推理构建数学知识，探索解决问题的思路和方法，在整体上理解演绎法的意义。

第五层次：公理化水平。学生能理解数学知识体系及抽象性，合理评判并舍弃对象的具体性质和其间关系的具体含义，在不同的公理系统下严谨地建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，超出对理论的任何具体解释而发展理论。

值得注意的是，上述各水平层次的发展是循序渐进的，任何教学法都不可能让学生跳过某一水平层次而直接达到下一水平层次，但过渡之后有时仍需回到较低水平以便更好地理解它们，这就是思维过程中的“返祖”现象。直观想象水平层次的进步，往往依赖于教学而非年龄的增长。

（未完待续）

（作者单位：江苏泰州学院）