从经验到模型：为数学理解的深刻而建构——以《反比例的意义》教学实践与反思为例

江苏江阴市城中实验小学 黄蓉洁 缪宏敏

一、探索：“数学教育”的本色追求

随着课改的不断深入，核心素养开始倍受教育工作者的关注。在一场场百家争鸣的学术探讨中，一线教师很容易被诸多大咖的新观点、新理论弄得眼花缭乱，甚至迷失了方向。那么，数学教育的核心任务到底是什么？

课标指出：数学是研究数量关系和空间形式的科学。作为促进学生全面发展的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面不可替代的作用。笔者认为：信息化时代的到来，数学知识与技能获得的途径将多元化，当下以及未来数学教育的核心应该是“思维”。忐忑间，偶然发现史宁中教授讲过这样一句话：中小学数学教育的终极目标就在于会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界。其中，“数学的眼光”侧重于数学抽象与直观想象，“数学的思维”偏向于逻辑推理与数学运算，“数学的语言”指向于数学模型与数据分析。他的观点，更坚定了我们“为思维而教”的价值判断。

思维是人脑对客观现实间接的、概括的反映（客观事物的本质属性和规律性的联系），是认识的高级形式。思维过程就是运用多种形式对外界信息不断进行分析、综合、比较、抽象和概括的过程。结合皮亚杰、杜威对“理解本质”的界定，我们提出：思维的过程也是个体对客观现实建立理解、深化理解、表达理解的过程。数学理解，不仅是对数学知识内容、方法技巧、思想策略的感悟，还有从数学的角度去发现、思考、表达现实问题。数学教育，应为数学理解的深刻而设计、展开。

二、实践：“理解深刻”的优选策略

函数是“数与代数”的重要内容，也是义务教育阶段学生比较难理解和掌握的数学概念之一，《反比例的意义》就是其中的典型代表（苏教版数学第十二册第六单元）。从“生活经验”到“数学模型”的生长，它直观反映了数学理解从模糊到清晰、从表象到属性、从具体到抽象的发展过程。下面，笔者以该内容的教学设计为例，谈谈促进学生数学理解的一般策略。

(一)距离丈量：在反复追问中明晰目标

1.学情分析：学生在哪里

（1）已经掌握了一些常见的数量关系；（2）已经获得了“正比例意义与图像”的学习经验；（3）已经具备了初步的逻辑推理能力和分析问题的方法，有一定的独立探究意识和合作交流能力。

2.内容审视：价值在何处

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。反比例是一种特定且重要的数学模型，是对以前学过的数学问题（如总量不变的问题、等积变形问题）和数学规律（如积的变化规律）的一般化与模型化。其基本样式为：xy=k（一定），其中，x与y一个是自变量一个是应变量，k是定量。

（1）从单元编排看知识，有助于学生认知结构的逐步完善。单元教材的编排序列为“正比例意义—正比例图像—反比例意义（图像）”。如此，既分解了单元目标达成的难度，积累同类题材的学习经验，也能引发学生积极的数学思考。

（2）从思维发展看经历，有助于学生高阶思维的逐步提升。布鲁姆目标分类学中，记忆、理解、应用是低阶思维，分析、评价、创造是高阶思维。各地方教材对“反比例意义”的教学建议，基本都遵循“问题情境—建立模型—解释、应用、拓展”的模式，大多都运用分类、归纳、抽象、数形结合等数学思想方法。这些思想方法，就是高阶思维的学科表达。

（3）从函数思想看模型，有助于学生后续学习的逐步展开。建模期间，学生能在鲜活的情景中充分感悟“变量与常量、自变量与应变量”等函数思想，多次体验“列表法、解析法、图像法”这三种函数的表示方法，为后续的深入学习做了很好的铺垫。

3.目标设定：要到哪里去

基于以上思考，结合课程标准的相关理念，我们这样设定本课教学目标：（1）在具体的情境中，理解反比例的意义，会判断两种量是否成反比例。（2）经历观察、比较、归纳、抽象模型的探究过程，提高概括和推理能力。（3）在自主探索与合作交流中获得积极的情感体验，会用数学的眼光观察并解释生活中的现象。

（二）路径选择：在认知冲突中自主建构

目标既定，如何达成？ 建构主义告诉我们，学习是认知冲突不断生成、化解、再生成的过程。认知冲突，即已有的知识和经验与新知识之间存在某种差距而导致的心理失衡。在课堂教学中设置认知冲突，可以唤起学生学习的内在需要，使他们在近乎真实的学习背景或解决实际问题的过程中，感受到矛盾，感悟到联系，理解到深刻。基于学生最近发展区梳理并创设障碍是形成认知冲突的一般方式。就本课而言，我们预设的障碍有：（1）“成反比例关系”的对象是谁？ （2）怎样才算成“反比例关系”？ （3）正比例和反比例关系有什么关联？ （4）反比例图像为什么是一条曲线？（5）学了反比例有什么用？清除障碍的学习方式主要有分析、综合、比较、抽象、概括等。

（三）过程体验：在问题解决中深刻理解

问题是认知冲突的直观体现，问题解决也是数学课程的四大目标内容之一。在真实的情境中，发现问题、在丰富的表征中分析问题、在自我的挑战中解决问题，有助于学生数学理解的深刻。

1.唤醒与启发：在生活情境中猜想数学现实

（1）还原：这是江阴徐霞客公园游玩的一些数据，总价和数量成什么关系？ 为什么？

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（2）推广：生活中相关联的两个变量有很多，除了正比例关系，还有没有其他关系了？ 是什么？

（3）猜想：你觉得怎样算反比例关系呢？ （大多数学生的猜想是变化方向相反的两个变量）

2.比较与联想：在属性鉴别中感知模型表象

（1）比较1：你有什么发现？

表1 面积为18平方厘米的长方形

表2 周长为18厘米的长方形

通过填表与观察，学生发现两张表中两个变量的变化方向都是相反的。此时，内心的困惑：它们是否就是成反比例呢？

（2）比较2：两张表中长和宽的变化规律一样吗？ 通过小组讨论，学生发现，尽管两组变量的变化方向一样，但变化规律有所不同。表1的长与宽在变化过程中保持积不变，表2的长与宽在变化过程中保持和不变。

（3）联想：你觉得哪张表的长与宽成反比例关系？ 为什么？ 此时，许多学生应用以往经验展开联想。

生1：我觉得表1中的长和宽成反比例，因为反比例应该也是比例的一种，而比例都是研究乘除关系的。

生2：正比例是专指两个变量在变化过程中商一定的关系，不包括差一定的关系，所以我觉得可能是表1中的长与宽。

直觉性思维是所有发明的基础。学生在有理有据的联想中，对反比例的本源、属性产生了新的认识。

3.感悟与辨析：在正面引导中建立模型表征

（1）观察：单价和数量的变化规律是怎样的？

用60元购买笔记本，购买笔记本的单价、数量如下表：

通过交流，学生再次发现单价和数量是两个相关联的变量，变化方向也是相反的，在变化过程中单价和数量的积不变，这就是反比例的生活原型。

（2）概括：你能借助数量关系式表示三者之间的关系吗？ [单价×数量=总价（一定）]

（3）定义：像这样，单价和数量是两种相关联的量，单价变化，数量也随着变化，如果单价和数量的积一定，我们就说单价和数量成反比例关系，单价和数量是成反比例的量。

4.抽象与建模：在比较归纳中抽象模型样态

（1）内化：表1和表2中，长和宽成反比例吗？ 为什么？

（2）迁移：长和宽在变化过程中必须满足怎样的条件才成反比例？

（3）概括：你会用一个式子表示这种关系吗？[长×宽=面积（一定）]

（4）抽象：请大家观察上述两个关系式，再想一想成正比例的关系式，反比例关系可以用哪一个式子来表示？ [x×y=k（一定）]

（5）比较：正比例关系和反比例关系有什么关联？

5.应用与串联：在推广迁移中明晰知识本质

（1）联系：生活中还有哪些数量也存在反比例关系？

（2）辨析：你能运用今天所学的知识判断下面两个变量的关系吗？ （略）

（3）综合：请大家看黑板上的两种关系，同样是单价、数量、总价，为什么有时候成正比例关系，有时候成反比例关系呢？ （由定量决定）

（4）练习：给你三个量，你能说说它们之间的关系吗？

6.图像与表征：在直观对比中深化函数思想

（1）猜想：正比例关系可以用通过原点的一条射线来表示，你觉得反比例关系的图像是怎样的？

（2）验证：以刚才的单价、数量和总价为例，我们分别来画一画好吗？

（3）分析：除了两个变量，你能看到不变量吗？ （图例呈现长方形面积）

（4）推理：正比例图像会与轴产生交叉，反比例图像会不会？ 为什么？

7.总结与反思

本课的设计，勾勒了数学理解走向深刻的一般样态：一是注重引发真实问题。让生活中的情境引发数学思考，让数学思考解决生活中的具体问题。二是注重运用合情推理。从一般到特殊，从表象到属性，从具体到抽象，学生在不同属性的数学现实中比较、分析、归纳，逐步获得对反比例意义的深刻理解。三是注重自主建构。在反比例模型建构过程中，学生经历了猜想、验证、推理、应用、反思等学习活动。这样的体验，均建立在学生内心最纠结与较混沌处，冲突化解的过程就是理解升华的过程。

值得一提的是，在课后交流中，学生提出了一个很有意思的问题：比例和反比例有关系吗？ 事后与多名同事探讨，持“没有关系”观点的居然占了多数，理由也很充分：意义不同，表征也不同。笔者以为，正反比例都是比例的一种特殊表达方式。如：笔者虽然没有明确指出两者之间的关联，但学生却能在辨析中领悟到正反比例都是在研究“有关乘除的变化关系”，其表征是一致的。反之，如果没有关系，教材为何要设计“比、比例、正反比例”的学习序列呢？ 古人又为什么要起名“反比例”呢？ 是否存在一种可能：在路程一定的情况下，速度和时间成反比例，继而可以推广为速度1∶速度2=时间2∶时间1，反一反就能组成比例了？