陈绍荣 ,何 健 ,陈柏良 ,薛在阳
(1.陆军工程大学通信士官学校,重庆 400035;2.军委装备发展部军事代表局驻成都地区军事代表室,四川 成都 610041;3.深圳市惟新科技股份有限公司,广东 深圳 518000;4.奥特斯科技(重庆)有限公司,重庆 401133)
在国内外《信号与系统》著作[1-2]中,均介绍了Jury准则和利用Jury准则来判定LSI离散时间系统稳定性的步骤和方法。虽然高阶LSI离散时间因果系统的稳定性可利用Jury准则做出判定,但遗憾的是,若高阶LSI离散时间因果系统是一个不稳定系统,则Jury准则不能判定出高阶LSI离散时间因果系统转移函数有多少个极点位于z平面的单位圆外。本文在著作[3]的基础上,给出了基于双线性变换和R-H准则来判定LSI离散时间因果系统稳定性的方法,间接解决了Jury准则遗留的问题。
设:
则其稳定性检验表如下:
将每两行相互区分开,第1行列出D(z)的系数,第2行将第1行的系数顺序颠倒排列,第3行按下述方法求得,即:
第4行将第3行的系数顺序颠倒排列,再按上述办法求出稳定性检验表中的第5行,即:
第6行将第5行的系数顺序颠倒排列。
这样一直排下去,每两行比前两行少一项,一直排到2n-3行为止。
可以证明,D(z)=0的根均位于z平面单位圆内的充要条件是:
式(5)揭示的D(z)=0的根均位于z平面单位圆内的充要条件,称为Jury准则。
Jury准则即式(5),表明由多项式D(z)的系数构成的稳定性检验表除满足 D(1)>0 和 (-1)nD(-1)>0外,对表中每一个奇数行而言,第一个系数必须大于最后一个系数。
解:考虑到:
则其稳定性检验表如下:
虽然 D(1)=16>0、(-1)5D(-1)=2>0 但是从稳定性检验表可见,第3行的系数bn-1=3小于最后一个系数|b0|=6,因此可以判断该系统为不稳定系统。
高阶LSI离散时间因果系统的稳定性可利用Jury准则做出判定,遗憾的是,若高阶LSI离散时间因果系统是不稳定系统,则Jury准则不能判定出D(z)=0有多少个根位于z平面的单位圆外。本可以利用双线性变换和R-H准则来解决这一问题。
由于z平面与s平面之间存在映射函数z=esT,使得s平面到z平面不是“一对一”的映射,而是“多对一”的映射,即s平面的ω每增加2π/T时,z的幅角Ω就增加2π,亦即s平面上的σ相同,而ω相差2πm/T(m为整数)的各点,在z平面上都映射为同一点。因此,首先需要找一个“一对一”的映射函数,将s平面一对一地映射成w平面上以实轴为对称轴、宽度为2π/T的带状域。利用映射函数z=ewT,将w平面上的带状域一对一地映射成全z平面,如图1所示,保证了s平面到z平面是“一对一”的映射。由于s平面到z平面的“一对一”映射是经历两次“一对一”映射完成的,因此在这一过程中找出的s平面与z平面的映射函数,通常称为双线性变换函数。
图1 双线变换函数的映射关系
基于图1给出的单值映射图形,下面寻找双线性变换函数。
设:
考虑到欧拉公式,则式(8)可写成:
式(12)或式(13)揭示了s平面与z平面的单值映射关系,通常将这种映射关系称为双线性变换。
考虑到式(13),则有:
由式(15)可知,利用式(13)揭示的双线性变换函数,正向期望相同,可将s平面的左半平面(σ<0)、虚轴 (σ=0)及右半平面 (σ>0)分别映射成 z平面上的单位圆内部 (0 ≤ |z|<1)、单位圆周 (|z|=1)及单位圆外部 (|z|>1)。
解:由于LSI离散时间因果系统转移函数H(z)的极点为v1=0.5,v2=3,v3=4。显然,极点v2=3和v3=4位于z平面的单位圆外,故系统为不稳定系统。
下面来考察s平面与z平面的零点和极点的单值映射情况。
为了简单,在式(12)和式(13)中可取变换常数C=1。现在,利用双线性变换式(13),将LSI离散时间因果系统的转移函数H(z)映射到s平面,即:
类似地,对高阶LSI离散时间因果系统,利用双线性变换可以得到n次多项式Deq(s),那么通过R-H准则可以间接判断高阶LSI离散时间因果系统的稳定性。
解:为了简单,取式(13)中的变换常数C=1。利用双线性变换式(13),将LSI离散时间因果系统的转移函数H(z)映射到s平面,即:
式中:
Deq(s)=0的根全部位于s平面的左半平面的必要条件是多项式Deq(s)中不缺项,且各项的系数同符号。因此,由式(21)可知,Deq(s)=0有根位于s平面的右半平面,即Heq(s)有极点位于s平面的右半平面,亦即H(z)有极点位于z平面的单位圆外,该LSI离散时间因果系统是不稳定系统。
为了确定出Deq(s)=0的根位于s平面的右半平面的个数,下面列写Deq(s)的R-H阵列:
分析表明,R-H阵列中第1列元素,从正到负,再从负到正,符号共变化了2次,因此Deq(s)=0有2个根位于s平面的右半平面,那么D(z)=0一定有2个根位于z平面的单位圆外,即5阶LSI离散时间因果系统有2个极点位于z平面的单位圆外。
本文介绍了Jury准则,给出了基于双线性变换和R-H准则来判定LSI离散时间因果系统稳定性的方法,间接解决了Jury准则遗留的问题。