两个常用不等式的下界估计

安徽省舒城县杭埠镇中心学校

丁遵标 (邮编：231323)

匡继昌教授在编著的《常用不等式》一书中，收录了下面的两个几何不等式：

其中a、b、c为△ABC的三边长，p为半周长，R为外径，r为内径，∑表示循环和.

经过探讨，现已得到它们的下界估计.

证明(1)因为∑bc=p2+4Rr+r2，

∑a2=2(p2-4Rr-r2)，

∏abc=4Rrp(∏表示循环积)，

(2)因为∑a2c≥3∏a，∏(p-a)=r2p

由Gerretsen不等式知

p2≤4R2+4Rr+3r2，

①

因为∑a=∑c=2p,

②

由①、②得：

结合文中定理及Guba不等式，有

这样，我们得到一个有趣的三角不等式：