探究题目背后的隐直线

浙江省丽水中学

罗贤旭 (邮编：323000)

直线是解析几何中最基本也是最重要的元素之一，从初中开始学生就已经学习过直线方程，高中必修二又进一步学习了直线方程的五种形式.直线与圆锥曲线结合使得圆锥曲线综合问题更加丰富多彩.有很多问题从表面上看并没有直接考查直线，但是背后却隐藏着直线，挖掘题目背后的隐直线，能给解题带来事半功倍的作用.

1 形式中应用直线

图1

点评目标式的形式与点到直线的距离形式一致，就将问题转化为圆上两个动点到直线的距离之和.

图2

点评思路1和思路2都是通过把问题转化成点到直线的距离，问题的关键是找到符合转化条件的直线，从不同的视角下得到答案，方法都很巧妙.

问题3(2010浙大自招)有小于1的正数x1,x2,…，xn，且x1+x2+…+xn=1.求证：

图3

2 定义中引入直线

问题4 在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线为椭圆，则实数m的取值范围为.

点评这道全国高中数学竞赛题条件简洁，通过构造满足条件的定点(即焦点)与相应的定直线(即准线)，借助圆锥曲线的定义得到m的范围.

图5

点评引入直线MN，利用点O在直线MN上满足斜坐标系下的直线方程，巧解此题.

3 构造中感悟直线

问题7若实数a、b、c满足a+2b+3c=1,a2+4b2+9c2=1，则c的最小值是.

点评直线与圆很多时候总是相生相伴，演绎了很多精彩的题目和结论，通过合理的代换实现代数的几何化，利用隐直线与隐圆有交点转化成距离，视角独特，解题方便.

点评cos2α+sin2α=1⟺cosα·cosα+sinα·sinα=1.这个三角恒等式中隐含着动点A(cosα,sinα)恒在动直线系cosα·x+sinα·y=1上，这些直线又正是单位圆x2+y2=1上任意一点的切线，所有这些切线就形成了圆的包络线，在这样的数学背景下，题目的解法也就更加新颖.

点评这道题的条件是一边一对角问题，利用余弦定理可以得到边a、c的关系，目标式是求c+2a的最大值，第一视角是利用不等式的方法去解决.但是挖掘题目背后的几何背景，利用数形结合解这道题有利于进一步培养学生的数学思维能力.

解题教学并不单纯为了求得问题的结果，真正的目的是为了提高学生分析和解决问题的能力，培养学生的创造能力，我们在平时的教学过程中给学生多些视角分析问题，探究题目背后隐含的数学元素，经过长期这样的训练，肯定会提高学生分析问题决问题的能力，真正培养了学生的数学核心素养.