再构知识系统 落实核心素养——“一次函数复习”的教学设计与评析

安徽省合肥市包河区教研室

汪洪潮 (邮编：230051)

安徽省合肥市海顿学校

曹玉华 (邮编：230051)

前不久，在合肥市包河区九年级数学复习课研讨活动中，笔者执教了一节复习课，课题是“一次函数”.为上好本节课，笔者认真查看了《义务教育数学课程标准(2011年版)》对一次函数的要求，重拾教科书，再理知识结构，大胆设计教学内容，有效组织实施，给与会老师留下深刻印象.现对本节课做回顾评析，与各位同仁分享交流.

1 学情分析

该授课班级生源整齐，基础扎实，接受能力强，数学成绩好.学生在前面的学习中已经掌握了一次函数相关知识，积累了用一次函数模型解决问题的基本方法和初步经验，具有一定的观察、概括经验和能力，会运用基本数学思想方法解决简单的数学问题.此时学生的思维主要以具体直观形象思维为主，处在由具体直观形象思维向抽象逻辑思维发展的阶段.

2 复习目标

(1)掌握一次函数的概念、图象和性质，会用待定系数法确定一次函数的表达式；理解一次函数与一次方程(组)、一次不等式(组)的关系；理解一次函数的图象是一条直线；运用一次函数模型解决实际问题.

(2)经历梳理一次函数相关知识的过程，感受函数学习的基本套路和方法，提高观察、分析和解决问题的能力，提高综合运用函数模型解决实际问题的能力.

(3)体会数学知识的普遍联系，体会数学来源于生活，体会数形结合思想.

3 范例设计

3.1 复习回顾，知识再构

师：八年级我们学习了一次函数的有关知识，还记得学习了哪些内容？怎么学习的？

生1：一次函数的定义、图象及性质、一次函数与一次方程(组)、一次不等式(组)的关系、一次函数的应用等知识.

生2：通过画图、观察图象的方法研究一次函数，用到了待定系数法、从特殊到一般、数形结合等思想方法.

师：我们学习一次函数，是从生活中的实例出发，通过抽象、概括得到一次函数的定义，接着学习一次函数的三种表达形式：解析式、列表法和图象法；再利用数形结合的方法，由特殊到一般地研究一次函数的图象和性质；接下来学习一次函数与一次方程(组)、一次不等式(组)的联系，最后学习一次函数模型的应用.你能将这些知识和涉及的思想方法有条理地梳理出来吗？

师生配合，共同完成如下知识结构图：

教学示范说明本片段教师通过三个问题，调动学生思维，引导学生回忆所学一次函数的有关知识、思想方法和逻辑顺序.由于学生头脑中的旧知往往是零散的，孤立的，因此教师必须引导学生从知识结构的角度，梳理知识的发生、发展顺序，重构知识网络，理清一次函数研究的基本内容和一般方法.

师：通过学习，我们知道一次函数的表达式是y=kx+b，其中k≠0，k、b是常数，那么常数k、b有什么几何意义呢？

生3：当k>0时，图象呈上升趋势，y随x的增大而增大；当k<0时，图象呈下降趋势，y随x的增大而减小.

生4：|k|越大，直线越陡，|k|越小，直线越平缓.

生5：b是图象与y轴的交点纵坐标，也叫截距，当b>0时，图象交y轴于正半轴；当b<0时，图象交y轴于负半轴.

师：回答的很全面，并注意了分类讨论.k的值决定了直线的陡与缓，即直线相对于x轴的倾斜程度，我们还学过哪个量也用来刻画倾斜程度？

功能分析第一环节的目的是回顾一次函数概念、图象及性质，揭示k、b的几何意义，帮助学生建立起“数”与“形”的联系.将后续学习的坡度、坡角等相近概念与k联系，将不同领域知识进行综合，既揭示它们之间的本质联系，也为后续学习做铺垫.

教学示范说明：复习回顾环节，不仅要引导学生梳理一次函数的有关知识和研究方法，还要理清研究一次函数的基本套路，这种套路也是研究其它函数的基本套路.教学时，要通过“文字语言”、“图形语言”、“符号语言”的相互配合与转化，促进学生对数学语言理解，对函数性质的理解，对数形结合思想方法的理解.

3.2 回归生活，加深理解

师：列出下列问题的函数关系式，并思考求函数解析式用的是什么方法？这里的k和b有什么现实意义吗？

(1)张师傅每小时加工零件30个，则他加工零件的总数y(个)与他加工时间x(小时)之间的函数关系是；

(2)商店出售某种瓜籽，购买瓜籽及包装袋的费用如下表：

瓜籽数量x(kg)1234…瓜籽和包装袋的费用y(元)2.24.26.28.2…

则瓜籽和包装袋的费用y(元)与购买瓜籽的数量x(kg)之间的函数关系是.

生7：(1)y=30x；(2)y=2x+0.2.求函数解析式用的是待定系数法.

生8：第(1)个问题中，k的意义是指工作效率；第(2)个问题中，k的意义是指瓜籽的单价；b的意义是指包装袋的费用.

师：第(2)个问题中，k是如何求得的？

所以y=2x+0.2.

功能分析由浅入深，设置两道简单的实际应用问题，将正比例函数概念、待定系数法、常数k、b的实际意义等问题进行检测和回顾.既训练了学生的解题能力，又将一次函数模型应用于生活实践，赋予函数更深、更广的现实意义，有利于学生对函数模型的理解和应用.通过将任意两点坐标(x1,y1)、(x2,y2)代入函数解析式，得到关于k的解，有利于帮助学生理解k的本质是变化率，为高中学习做铺垫.

3.3 深度思考，揭示本质

师：为什么一次函数的图象是一条直线呢？

图1

所以∠BAF=∠CBN，即线段AB和线段BC的倾斜程度相同，即AB∥BC.

又知它们经过同一点B，故A、B、C三点在同一直线上.

师：思路严谨，很有创意！其实，两条直线解析式中只要k相同，或直线与x轴正半轴夹角相同，直线的倾斜程度就相同，这样的直线就是平行的.因此，常数k和倾斜角α是刻画两条直线位置关系的重要元素，具体关系如何，可以课后继续探究.

功能分析在八年级学习一次函数图象及性质时，对“一次函数的图象是一条直线”这一结论是通过画图直观感知的，或者通过列表观察得到结论的，但都没有进行严格的证明.在中考复习时，结合三角函数知识及坡度等概念，对该结论进行证明，不仅回答了初学时对“为什么一次函数的图象是一条直线”的困惑，还将直线的倾斜程度、坡度、变化率等概念有机联系，揭示了知识的本质.

3.4 数形结合，建立联系

师：画一次函数y=2x+0.2图象的一般步骤是什么？

生11：画一次函数的图象有三个步骤：列表，描点，连线.

师：如果一次函数y1=k1x+b1的图象如图2所示，如何观察图象呢？从图象中可以得到什么信息呢？

生12：在图象上任意找一点，过这一点作x轴垂线，垂线交x轴所得点的横坐标是自变量的取值；过这一点作y轴垂线，垂线交y轴所得点的纵坐标是函数的值.

生13：由图象可知，当x<0时，y>60,x=0时，y=60,x>0时，y<60；当x<2时，y>0,x=2时，y=0,x>2时，y<0.

生14：当0

图2

生15：由直线与y轴交于(0,60)，可知直线的截距是60，即直线解析式中b=60；再由待定系数法，可求得直线的解析式为y1=-30x+60.

图3

师：如图3，如果增加一条直线y2=k2x+b2，观察图象，你又能得出哪些结论？

生16：由待定系数法可求得直线的解析式为y2=20x-10.

生18：由交点坐标，还可以得到：当x>1.4时，-30x+60>20x-10；当x=1.4时，-30x+60=20x-10；当x<1.4，-30x+60<20x-10.

师：由图象信息，我们可以求出解析式、方程(组)的解、不等式的解集，图中还能看出不等式组及其解集吗？

生19：可以，如不等式组

师：两条直线与坐标轴围成了△ABC，你能求出它的面积吗？

师：求函数图象与坐标轴围成的三角形面积时，通常以平行于坐标轴的边为底，计算出底边的长及其相应的高.如果底边在x轴上(或与x轴平行)，且端点横坐标分别为x1、x2，则其长为|x2-x1|，如果在y轴上(或与y轴平行)，且端点纵坐标分别为y1、y2，则其长为|y2-y1|.

教学示范说明函数解析式是从“数”的角度揭示两个变量之间的对应关系，函数图象则是从“形”的角度刻画两个变量之间的对应关系.二者各有优劣，正如“数形结合百般好”，研究一次函数问题，必须密切联系“数”与“形”两个方面.通过观察图象特征，结合点的坐标，有机地将一次函数、一次方程(组)、一次不等式(组)等内容有机融合在一起，从而帮助学生深刻理解和把握“三个一次”之间的联系.补充“求三角形面积”问题，目的是引导学生感受用代数方法解决几何问题，渗透“两点间距离的坐标公式”.

3.5 应用模型，回归生活

图4

例1 如图4，A、B两地相距60km，甲从A地去B地，乙从B地去A地，图中l1、l2分别表示甲、乙两人离B地的距离y(km)与甲出发时间x(h)的函数关系图象.

(1)根据图象，说说乙的行驶时间和速度；

(2)解释交点A的实际意义；

(3)甲出发多少时间，两人之间的距离恰好相距5km；

(4)若用y3(km)表示甲、乙两人之间的距离，你能在坐标系中画出y3(km)关于时间x(h)的函数关系图象吗？

功能分析一次函数模型在生活中很常见，当物体匀速运动、单价一定、工作效率不变等时，往往都可以用一次函数模型去刻画.本例题以行程问题为载体，由浅入深，由易到难，设置四个问题，引导学生逐步探究.问题设置先由“形”到“数”，再由“数”到“形”，拓展了学生思维的深度与广度，渗透数形结合与分类讨论思想，让学生充分感受一次函数模型是刻画现实世界的有效工具.

教学示范说明本例是在复习一次函数解析式、“三个一次”的基础上推进的.教学时，要关注前后两个图形的联系，淡化重复计算，注重方法分析，及时归纳总结解决问题的思路和方法，即理解图象中关键点及每段图象的实际意义，利用待定系数法求出相应图象的函数解析式，把实际问题转化为数学问题进行解答.本例的难点是第(4)问理解“甲、乙两人之间的距离y3km”与“甲出发时间xh”之间的函数关系，可以辅助线段图或用几何画板演示帮助学生理解，引导学生学会按时间节点分类讨论.

例2 为了解某台新机床生产产品的质量，工作人员每隔1小时对该机床生产的合格产品数量进行统计，记录的数据如下表：

时间t/小时123456合格产品数量y/件152944627589

操作：在下面的平面直角坐标系中描出表格中数据对应的点；

思考：(1)根据图中点的分布情况，猜测y关于t的函数形式，求出其表达式；

(2)根据你建立的模型，估计多少小时该机床生产的合格产品数量达到300件.

功能分析本题是用一次函数模拟数据，是统计推理，属于归纳推理范围，是培养学生推理能力的重要方面，展示了函数模型的应用价值，突出建立数学模型的思想方法和实际意义.由于表格中数据并非严格的线性变化，解答时，需要学生先描点、观察，再将图象近似地看成一条直线，然后选择尽可能靠近直线的点，求出函数解析式，再去估算最后的结果.

教学示范说明用函数模型去解决实际生活中的问题，同以往直接给出标准的函数表达式去解决问题不同，教学中要给学生充分的时间，让他们在体会、交流与探究中学习，总结归纳一次函数、二次函数与反比例函数三种模型的异同点，掌握用一次函数模型模拟实际问题的方法.

4 设计说明

本节复习课采用问题驱动下的学生自主重建知识结构，自主探究模型应用的学习方式，在问题解决的过程中，将知识的回顾、综合、拓展糅为一体，将能力提升与思维发展融于其中.整个教学过程很好地体现了学生的主体地位，体现了新课程理念下教师的角色转变.重点突出以下几个方面.

4.1 旧知梳理，关注研究方法与套路

作为中考复习课，对一次函数相关内容的学习已经完成，本课通过对旧知梳理，引领学生总结归纳研究一次函数的基本套路：呈现生活实例，抽象概括得到一次函数的概念，从特例正比例函数入手，研究一次函数的图象和性质，探究一次函数与相关知识的联系，应用一次函数模型的解决实际问题.这种套路也是学习和研究其它函数的基本套路.在具体的学习过程中，抽象与概括、从特殊到一般、分类讨论、数形结合等思想方法也是数学学习的基本方法.

4.2 用函数观点审视，重建认知结构

在中考复习中，对已学过的旧知，需要不断地重新认知，重新构建知识体系.这既包含对旧知的再认识，也包括与相关知识的联系和综合.本课通过对一次函数相关知识的回顾，将一次方程(组)、一次不等式(组)、锐角的正切值、坡度等知识融入课堂，这种再认识不是原来水平上的重复，而是在更高的起点上的动态分析，是用一次函数知识统领这些数学对象，既体现函数的重要性，也为后续研究做铺垫.

4.3 重视数学思想方法的渗透

本课教学，不仅着眼于具体题目的解答，关注符号语言与图形语言的相互转换，更关注学生数学思想方法的领悟.教学时，通过具体的案例，将数形结合、特殊与一般、分类讨论、模型思想、转化、类比等思想渗透其中，并通过相应练习促进学生对基本思想方法的领悟.

4.4 重视函数模型的实际应用

抽象的函数概念必须通过具体的应用才能得到深刻的理解.本课教学着力于将函数知识应用于问题解决中，通过问题的引申，将函数图象、交点坐标、函数模型等问题与实际场景相结合，使学生在解决实际问题的过程中，感受函数自变量取值范围的现实意义，感受收集数据与分析数据之间的联系，提高实践意识和应用数学知识的能力，增长建立数学模型的经验，这种能力和经验对学生的终身发展是大有裨益的.