由线连接的两体运动问题*

曾贵平 方保龙

(合肥学院数学与物理系 安徽 合肥 230601)

*合肥学院教学研究项目，项目编号：2017jyzd002,2018hfjyxm55

1 引言

为加深学生对物理概念、定义、理论的理解与应用，大学物理教材都会设计或提炼出相关的练习题供学生训练. 然而，在设计题时不能想当然，否则会出现难以发现的错误.下面这道题就是这种情况.

【例题】光滑的水平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过光滑的小孔后挂一质量为m1的物体．小球做匀速圆周运动，当半径为r0时与m1物体达到平衡．今在m1的下方再挂一质量为m2的物体，如图1所示．试问这时小球做匀速圆周运动的角速度ω′和半径r′为多少[1]?

图1 运动系统示意图

解析：在只挂重物m1时，小球做圆周运动的向心力为m1g，即

(1)

挂上m2后，则有

(m1+m2)g=mr′ω′2

(2)

重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒．即

r0mv0=r′mv′

(3)

联立式(1)～(3)得

(4)

(5)

以上的解题过程似乎正确，然而题目是有问题的，问题在于题目中已经预先设想小球还能达到“匀速圆周运动”状态，实际运动并非如此.下面通过两种方法来处理问题.

2 动力学方程

如图2所示，建立柱坐标系，圆孔O为极点，z轴正向垂直于平板向上.

图2 受力分析

(6)

(7)

对m1与m2进行受力分析，其动力学方程为

T-(m1+m2)g=(m1+m2)az=

(8)

式(7)反映m在横向不受力、径向受力，角动量守恒. 由式(7)得

(9)

(10)

(11)

积分得

(12)

常数c可由初始时刻u=0，r=r0确定

(13)

则m的径向速度或m1与m2的速度为

(14)

(15)

式中

要确定vr=0对应的r，可求解

f(r)=ar2-br3-c=0

其两个真实根可由图3所示求出. 另外，vr的最大值对应的r处于r1～r0之间，可由

得到

由此可见，vr在零至最大值之间变化，即挂上物体m2后，实际上m1与m2随后将做上下的振动，而m将做绕圆孔O点的非圆周运动.

图3 vr= 0时r的两个真实根

3 机械能守恒

以桌面为势能零点，由于3个物体构成的系统机械能守恒，有

(16)

在极坐标系中m的速度为

则

(17)

结果与前相同.

4 结论

一个置于水平面上做匀速圆周运动的物体，通过线连接着另一个下垂物体，在极端情况下，当下垂物体挂上大质量物体后，下垂的物体随后将做近似自由落体运动. 一般情况，下挂物体的质量不是很大时，下垂的物体随后将做上下的振动，水平面上的物体将做绕圆孔的非圆周运动.