巧用洛必达法则解高考压轴题

陈康

[摘   要]大多数学生对高考数学压轴题望而生畏 .“由不等式恒成立求未知常数的范围”用洛必达法则求解往往很有效，过程简捷、学生易掌握.

[关键词]洛必达法则;压轴题;高考

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）14-0018-02

洛必达法则是高等数学函数极限内容的一个定理，在中学教材中并没有出现 .但是高中数学中的《导数及应用》内容既是高中数学的一个非常重要的内容，是高考的必考内容，也是高等数学中的一个很基础很重要的内容 .在高考的考试大纲里提及可以在知识网络的交汇处设计试题 .过去一些高考试题的导数题其实就是在知识网络的交汇处命题的 .有部分题可以用洛必达法则来解 .在解题中若能用上洛必达法则，将事半功倍 .

一、高考例题分析

（2）解法一：

（2）解法二：

評析：本题主要考查导数在函数中的应用 .即考查函数的单调性和不等式的恒成立问题 .“解法一”应用了传统的解法，通过对不等式进行变式、分类讨论，巧妙地运用了常见的函数不等式[ex≥x+1]进行放缩，难度较大，学生很难想到 .相对来说，“解法二”的思路比较容易理解，属于常见思路.即先分离参数，再构造函数的恒成立问题.由于函数h（x）在x = 0处的值不存在，因而要用洛必达法则来解 .

评析：“解法一”运用构造函数、分类讨论和适当放缩的方法，解题方法常规，思路清晰，难度不算很大.但在分类讨论时，学生常常因不会讨论而丢分 .“解法二”比“解法一”更容易被学生接受 .因此在高三的第二轮复习中要介绍一下洛必达法则 .

二、复习备考建议

从上面对两道高考试题的解题分析不难看出，用洛必达法则解题思路清淅，方法单一，学生易掌握 .笔者建议教师在高三的二轮复习中，有针对性地增加两三节课来探讨洛必达法则的应用，以使学生多一种重要的解题方法，增加战胜压轴题的机会 .

高考导数问题，常常是与未知常数有关的不等式恒成立问题，对于这类问题，常见思路是运用构造函数方法，这种解法一般要对未知常数进行分类讨论，这是普通学生很难完成而尖子学生又常常丢分的地方，而多数高考导数题的未知常数的最高次数是一次，因此解题思路就很容易想到用分离参数方法，当函数在区间端点处的函数值不存在时，则其后半部分的解题往往与洛必达法则有关 .因此建议教师在备考复习中，遇到有关的题目（或设计有关题目）时，用两种方法.（构造函数方法和分离参数方法）来解，以便训练学生的思维，强化其数学思想方法 .

（责任编辑 黄桂坚）