由反向过年话学习数学的逆运算的教学探讨

陶印修 陈超

【摘要】今年反向过年是热话题，反向过年好理解，而逆运算就不好理解。教师把书教明白那是必须的基本功。教师若能由浅入深地教会学生理解所学知识，往往能引起学生的学习兴趣。本文试图从小学数学的加法与减法来理解互逆运算的概念，函数的概念，反函数的概念。所谓的逆运算是相对于正运算而言，加法是正运算，减法就是加法的逆运算。把函数理解为正运算有助于理解反函数概念，反函数就是函数的逆运算。显见正运算简单，而逆运算复杂，正逆运算的结果是还原。

【关键词】还原 互逆运算 正运算 逆运算

一、简单的加法与减法

我们都知道等式2+3=5是一种加法运算，由该等式可得另一等式5-3=2是一种减法运算。

二、减法是加法的逆运算

把上面的加法运算与减法运算中的2换成x，5换成y，可以抽象地把上面两个等式写成x+3=y与y-3=x。

1.还原与互逆运算

以上两个等式不仅可以相互推导，而且其关键问题是，原来的x经过加法运算“+”与减法运算“-”两种运算后x又还原回来啦，这样的两种运算就是互逆运算。

2.正运算与逆运算

我们把加法运算理解为正运算，那减法运算就是加法运算的逆运算。

三、函数是带未知量的运算

函数概念比较抽象，若把函数理解为带未知量的运算就简单了。

在x+3=y中，y=x+3就是带未知量x的加法运算，故y=x+3就是函数。

容易理解x叫自变量，y叫因变量。自变量的允许取值范围的全体叫函数的定义域。因变量的取值范围叫函数的值域。

自变量是一个的函数叫一元函数，本文把一元函数作为研究对象。

y是函数，运算通常用，來表示，函数y通常记作y=f（x）。本例中的运算f的含义是f（）=（）+3。

函数y=f（x）的实质，即运算f是作用在函数y=f（x）定义域上的函数。

四、反函数

虽然函数概念比较抽象，那反函数概念更抽象。

1.本义反函数

在函数y=f（x）中，是用x表示y。所谓函数y=f（x）的反函数就是反过来表示的函数，即用y表示x。函数y=（x）反函数的专用记号为x=f^-1（y），把函数x=f^-1（y）称为函数y=f（x）的本义反函数。

由前面的两个等式知x=y-3就是y=x+3的本义反函数。即

案例1y=x+3的本义反函数为x=f^-1（y）=y-3。

需要强调指出，实际中用的就是本义反函数。

2.矫形反函数

习惯上自变量用字母x表示，因变量用字母y表示，但本义反函数x=f^-1（y）中的自变量与因变量的记法与习惯表示不一致，为了与习惯表示保持一致，需要把本义反函数x=f^-1（y）中的自变量与因变量互换位置，得y=f^-3（x），把函数y=f^-3（x）称为函数y=f（x）的矫形反函数（矫形反函数只是好看而已）。

案例2y=x+3的矫形反函数为y=f^-1（x）=x-3。

3.本义反函数与矫形反函数是同一函数

因运算f^-1是作用在函数y=f（x）值域上的反函数，故本义反函数x=f^-1（y）与矫形反函数y=f^-1（x）实质上是同一函数，正如赵本山与宋丹丹演的小品中说的，你脱了马甲我也认识你是一样一样的。

案例3案例1与案例2是同一函数。其实质为f^-1（）=（）-3。

五、反函数就是函数的逆运算

我们把函数理解为正运算，那反函数就是函数的逆运算。事实上f^-1[f（x）]=f^-1（y）=x，x经过正运算“f”与逆运算“f^-1”两种运算后x又还原回来啦，这样的两种运算就是互逆运算。