高中数学思维严密性例析

陈瑜

摘 要：严密性是高中数学的一个重要特点，也是学生良好思维品质的一个重要方面.通过对有关绝对值三角不等式应用的例题分析，阐述审题、方案思考以及解题计算中思维严密性的重要性.

关键词：思维；严密性；绝对值；三角不等式

前言

高中数学具有抽象性、严密性和应用的广泛性等特点，而其中的严密性是良好思维品质的一个重要方面，表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，审题时严格、准确，思考解题方案时考虑周全，计算准确无误[ 1 ].

绝对值三角不等式是人教版选修4-5中的重要内容之一，也是高考选考部分的内容.它是求解含有多个绝对值符号的函数最值问题的重要解题工具[ 2 ].如果a，b都是实数，则a+b≤a+b，当且仅当ab≥0时，等号成立；把定理中的实数换成向量a，b，结论依旧成立，它的几何意义是三角形两边之和大于第三边.学生对于其应用，特别对等号的成立条件方面思维不严密，极易发生错误.因此绝对值的三角不等式的应用，特别在求存在性和最值问题，以及证明一些不等式时，更应该重视思维严密性.

1 审题严密性

在解決问题过程中第一步是审题，审题是否认真，是否严密，能否提取出有用且重要的信息对解题有着至关重要的作用，请看例题1.

【例题1】解不等式2x+1-x-2

这是一道含绝对值的不等式的求解问题。先回顾绝对值三角不等式等号成立的条件（见表1）.

表1 绝对值三角不等式成立条件

根据绝对值三角形不等式成立条件，原不等式可等价于2x+1

这道题目的计算、证明过程并不复杂，拿下这道题目，关键在于做到审题严密.通过审题，依据绝对值三角形不等式，可观察出2x+1=（x-2）+（x+3），更重要的，需要审查出其与绝对值的三角不等式的不同处——没有等号，这样就可以想到用两式异号来解决，否则用零点分区间来讨论就相对复杂了.由此可以看出有时进行严密的审题就容易找到解题的突破口.

2 思路严密性

解题过程中思路的严密性很重要，如果解含绝对值的不等式时从去绝对值的方面来考虑，就要注意零点分区间的严密性，做到区间的不重不漏，如果选择的是含绝对值的三角不等式来解题时要注意等号是否成立.就比如这道2017年全国课标三卷的第23题.

【例题2】已知函数f（x）=x+1-x-2.若不等式f（x）≥x2-x+m的解集非空，求m的取值范围.

初步思路：不等式f（x）≥x2-x+m的解集非空，等价于m≤f（x）-x2+x有解，m≤x+1-x-2-x2+x，令g（x）=x+1-x-2-x2+x.

错误思路一：

g（x）=x+1-x-2-x2+x≤x+1-（x-2）-x2+x=-x2+x+3=-（x-）2+.

因此当x=时，g（x）max=。此时忘记绝对值三角不等式取等号的条件需要（x+1）（x-2）≥0，且x+1>x-2即x≥2，而x=时明显不在这个范围内，因此取不到这个最大值，解法错误.

错误思路二：

g（x）=x+1-x-2-x2+x≤x+1+2-x-x2+x=-x2+x+3=-（x-）2+.

因此当x=时，g（x）max=。此时，应用了两次绝对值的三角不等式，其等号成立要求满足x≥2，而x=明显不在这个范围内，因此也取不到这个最大值.

正确思路一：

由f（x）≥x2-x+m得m≤x+1-x-2-x2+x，而x+1-x-2-x2+x≤x+1+x-2-x2+x=-（x-）2+≤

且当0≤x≤2，取x=时，x+1-x-2-x2+x=，故m的取值范围为（-∞，）.

正确思路二：

不等式f（x）≥x2-x+m的解集非空，等价于m≤f（x）-x2+x有解，即：m≤（f（x）-x2+x）max，令g（x）=f（x）-x2+x

=-x2+x-3，x<-1-x2+3x-1，-1≤x≤-x2+x+3，x>22

当-1≤x≤2时， g（x）=-（x- ）2+，g（x）max =

当x>2时， g（x）=-（x- ）2+，g（x）<1

综上所述，g（x）的最大值为，故m的取值范围为（-∞，）.

3 计算严密性

高中数学计算能力也是一个很重要的考查点，特别对于复杂的计算就要看严密性把握是否到位，严密性好的得分率自然就高。许多同学在一些计算过程中失分，如下例题3.

【例题3】已知函数f（x）=2x-a+x+1若f（x）的最小值为1，求a的值.

从求解方式来看，本题可用零点分区间讨论求最值，也可以用绝对值的三角不等式来解决.这里应用绝对值的三角不等式来求解.求解过程如下：

f（x）=2x-a+x+1=x-+x-+x+1≥0+1+，∵1+=1，∴ a=-4或0，当且仅当（x+1）（x-）≤0，同时x-=0时，f（x）取最小值.

此题常见计算失误有两种情况，其一，漏解，此题a有两解，很多同学只求得其中一解；其二，此题取最值时等号是否成立没有验证.

结论

近几年高考的选做题中的不等式也是很多学生选择的对象，因此在求解含有多个绝对值符号的函数最值问题的时候要多关注等号成立的条件，多加考虑，注意严密性.切不可一刀切，否则看似已经求出答案，实则大相径庭，无法得分.数学的严密性训练从细节的方面来说对于学生参加高考时的得分率有着至关重要的影响，从整体的方面来说是以后做人做事严谨态度的一个培养，所以在平时的教学中应该重视，有意识地强化严密性思维的培养.

参考文献：

[1]于永刚.挖掘数学习题潜力，培养数学思维严密性[J].吉林教育，2012（32）.

[2]人民教育出版社课程教材研究所，中学教学课程教材研究所开发中心.普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4-5 A版 不等式选讲[M].人民教育出版社，2007.