矩阵方程解的判定的应用

陈彦恒 贾松芳

类似于线性方程组解的判定定理在线性方程组中的地位，矩阵方程的判定定理在矩阵方程的一般理论也有重要的地位，然而在我们熟知的一些线性代数教材中几乎不涉及矩阵方程的判定定理的应用。本文给出了矩阵方程的判定定理在矩阵方程解的判定方面以及在两个同维向量组间线性表示关系方面的一些应用。

1 矩阵方程的判定定理

为了方便，我先给出矩阵方程的定义， 形如

（1.1）

其中 ，

的方程称为一个矩阵方程。 当 时， 称（1.1）为齐次矩阵方程，反之，称（1.1）为非齐次矩阵方程。

若令

其中

则矩阵方程 可化为 这就揭示了矩阵方程与线性方程组存在紧密联系。

类似线性方程组解的判定定理，下面不加证明的给出矩阵方程解的判定定理：

矩阵方程解的判定定理 矩阵方程（1.1）有解的充要条件是（1.1）中的矩阵 满足 。

下面通过例子说明矩阵方程解的判定定理在方程解的判定和在两个同维向量组间线性表示关系两个方面的一些应用。

2 在矩阵方程解的判定方面的应用

例1 判断矩阵方程 ，其中 ， ，是否有解。

解 由于

所以 ，从而由矩阵方程解的判定定理知，该矩阵方程无解。

例2 判断矩阵方程 解的情况，其中 ， 。

解 由于

所以 ，从而由矩阵方程解的判定定理知，该矩阵方程有解。

3 在两个同维向量组间线性表示关系方面的应用

例3若矩阵 满足 ，则 。

证明 因为 ，所以矩阵 是矩阵方程 的一个解。于是由矩阵方程解的判定定理知， ，而 ，从而 。另一方面，因为 ，所以有上述结论知， ， 从而 。 综合以上结论，有是 。

例4 设两个同维向量组 及 。则向量组 被向量组 线性表示的充要条件是 ，其中 ， 。

证明 先证必要性。由于向量组 能由向量组 线性表示，所以对每一个向量 都存在常数 ，使得

从而

记，于是，从而矩阵方程有解。由矩阵方程解的判定定理知，。

充分性证明。由条件出发，按必要性证明的逆过程一直可得到向量组能由向量組线性表示的结论。

注：利用例4的结论，我们还可以得到两个同维向量组等价的充分必要条件：设两个同维向量组及。 则向量组和向量组等价的充要条件是，其，。

本文仅对矩阵方程解的判定定理的应用进行了简单的探讨，希望能对学生的线性代数课程的学习起到帮助，同时也希望起到抛砖引玉的作用，促使进一步学习和丰富矩阵方程的一般理论。

（作者单位：重庆三峡学院数学与统计学院）