直线与椭圆、双曲线相切的性质探究

龙光鹏 涂燕青

江西省南昌市第十五中学 (330039)

1.源由

我们知道直线和圆相切的一条性质是：若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径.同时，我们也知道当椭圆的离心率e接近0时，其形状越接近于圆.换而言之，圆可以视为一种“特殊的椭圆”.然而，有一个困惑顿时在笔者脑海里浮现：直线与椭圆相切时，有关距离会有哪些结论呢？

2.探究

2.1 直线与椭圆相切的性质

我们知道，椭圆的中心到椭圆的切线的距离是变化的，当椭圆的离心率e接近0时，即椭圆的焦点无限靠近椭圆中心时，椭圆趋近于圆，故探究椭圆的两个焦点到椭圆切线的距离会存在什么结论.

以焦点在x轴上的椭圆为例：

图1

首先，尝试直线l为特殊的切线x=a，则d1=a+c，d2=a-c，故d1+d2=2a，d1·d2=a2-c2=b2.

其次，尝试直线l为另一条特殊的切线y=b，则d1=b，d2=b，故d1+d2=2b，d1·d2=b2.

于是形成了一个猜想：当直线l与椭圆相切时，必有2b≤d1+d2≤2a，且d1·d2=b2.

图2

2.2 直线与双曲线相切的性质

图3

(Ⅱ)由双曲线的对称性，不妨假设点(x0,y0)在双曲线上的右支上，∴d1+d2

3.应用

笔者以上述的性质为基础，尝试编创以下2道试题：

(Ⅰ)若过点A的直线l与椭圆C有且只有一个交点，求直线l的方程；

(Ⅱ)若点P是椭圆上任意一点，过点P的直线m与椭圆相切，求证：焦点F1,F2到直线m的距离的乘积为一个定值，并求出这个定值.

(Ⅰ)若过点M的直线与双曲线相切，且交x轴于点Q，求证：∠F1MQ=∠F2MQ；