Lagrange中值定理在贵州专升本数学证明题上的应用

彭良刚

摘 要 近年来贵州省普通高校选拔优秀专科生进入本科院校考试真题等式和不等式证明题已成为考试题中的重点和难点，学生在解决此类题目时往往会感觉无从下手，难以找到问题的切入点。本文着眼于构造辅助函数，利用Lagrange中值定理对等式及不等式证明题进行证明。结果表明：通过构造辅助函数后，再利用Lagrange中值定理解决此类问题更容易找到问题的切入点并且使问题简单化具体化;此外，学生熟练掌握此技巧后，会增强其自信心，解决该类证明题时更加得心应手。

关键词 专升本考试 证明 辅助函数 Lagrange中值定理

中图分类号：O13                                  文献标识码：A    DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2019.04.016

Abstract In recent years， it has become a key and difficult point in the examination questions to select outstanding college students to enter undergraduate colleges. Students often feel that there is no way to solve such problems and it is difficult to find problems Entry point. This paper focuses on the construction of auxiliary functions and uses Lagrange's median value theorem to prove the equivalence and inequality. The results show that， after constructing the auxiliary function， it is easier to find the entry point of the problem and make the problem simplify and concrete by using Lagrange's median value theorem. In addition， after students master this skill， they will increase their self-confidence and solve this type of proof problem more easily.

Keywords special promotion exam; certification; auxiliary functions; Lagrange median value theorem

0 引言

Lagrange中值定理是法国籍意大利裔数学家和天文学家约瑟夫·拉格朗日（Joseph Lagrange）的著名成就，它是微分中值定理的重要定理之一，重要性表现为它是连接函数与导数的桥梁。纵观近年来贵州省专升本高等数学考试题，发现最后一道压轴题大多都是与微分中值定理相关的证明题。这类证明题既是考试的重点也是难点，同样又是学生害怕遇到而又无法避免的难题之一，学生遇到这类题时通常会感到无从下手，找不到问题的切入點，让学生失去解题的信心。因此，对于解决该类证明题的有效方法之一是利用Lagrange中值定理，但是要正确使用Lagrange中值定理证明，就要熟记Lagrange中值定理的条件和结论，如何根据题目的结论构造出合适的函数是解决问题的关键。

1 Lagrange中值定理内容及几何意义

1.1 Lagrange中值定理内容

如果函数满足以下条件：

（1）在闭区间上连续;

（2）在开区间（）内可导。

结论：至少，使得。

或者记为：

1.2 几何意义

由图可以看出，在连续且端点外每一点都有不垂直于轴的切线的曲线弧AB，至少存在一点，使曲线弧在该点的切线平行于该曲线两端点的连线，即割线。两条直线平行它们的斜率相等，由于在处的切线的斜率为，割线的斜率为，于是就有

2应用Lagrange中值定理证明数学证明题

2.1 等式证明题

3结论

通过近年来对贵州省理工类专升本高等数学考试证明题的分析：压轴的证明题，不论是等式证明题还是不等式的证明题，几乎都是Lagrange中值定理的应用。然而解决这类证明题的关键通常都是要构建一个合适的辅助函数，让其满足Lagrange中值定理的条件，进而利用Lagrange中值定理的结论完成证明，必要时结合函数单调性等性质完成相关的证明。高等数学证明题不能靠简单重复，而是需要多做多练，要学会分析题目的结论构成，学会举一反三，最后达到融会贯通，方可在考试中得心应手。

参考文献

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