高中函数概念起始课教学案例研究*

马延红

(河南省汝州市第一高级中学 河南 汝州 467599)

学生们在初中时已经初步接触了函数概念，到了高中将进行深入学习，而高中函数的概念强调对应，是运用集合与对应的关系来帮助学生认识函数，因此函数定义更加抽象，具有高度的形式化，因此理解起来有一定难度。所以在高中函数概念起始课的教学中，教师应当明确教学重点为帮助学生理解高中函数的概念，结合已学的数集知识，形成对比分析。

1.创设现实生活情境理解高中函数的对应关系

初中函数概念强调x和y之间的变量关系，即，出现一个变量x，则有另一个唯一确定的变量y与之对应，学生是通过运动和变化的关系来理解函数概念的。而高中函数的概念强调的是x和y之间的对应关系，借助集合的概念理解函数。所以在起始课上为帮助学生顺利进行思维转变，教师可以联系现实生活，创设教学情境，帮助学生感受函数的对应逻辑关系，如，创设情境，让学生的逻辑思维从研究常量向研究变量进行转变，感受两个变量之间的对应关系[1]。

1.1 创设情境，教师提出以下现实生活案例让学生分析。

情境1：某蓄水池的水位高低以及蓄水量的变化列表如下：

水位(m)105120137蓄水量(m3)2.10×1076.09×1072.09×108

情境2：小明一家每天都要买一条鱼，小明从妈妈的账本上看到了每天买鱼的花销：

称重(斤)11.52……花销(元)14.9822.4729.96……

1.2 提问环节和分组讨论，教师提出问题引导学生思考两个变量之间的对应关系，让学生围绕问题进行讨论。

教师：认真观察两个表格，考虑一下在这两个变化过程中，存在几个变量？这些变量之间有什么样的关系？你是从哪看出变量关系的？尝试用数学语言描述一下。

学生A：“两个表格都有两个变量，水位和蓄水量，承重和花销。”

学生B：“水位和蓄水量是对应的，水位高的话，蓄水量就大，而且每个水位都有一个对应的蓄水量。”

学生C：“表2中鱼的承重和买鱼的花销也是对应的，称重越大，花销就越多。”

……

根据学生的回答，教师继续进行引导：“从以上两个表格中你们印象最深的是什么？”

部分学生的重点在于两个变量上面，教师可以和学生继续进行交流：“两个变量之间存在着什么关系？一个任意的变量，另一个是唯一确定的变量，它们之间的关系用符号应该怎么描述？”

接着教师板书：A→B，启发学生的思考，学生经过教师的反复引导之后，注意到：“两个变量之间是对应的关系。”

教师：“很好，那么你们再举出一些现实生活的实例，看看现实生活中存在那些对应思想。”

学生举出了更多实例，如，汽车里程表的数据由于车轮的周长是固定的，那么汽车行驶中车轮转了多少圈就是一个变量集合A，里程表的数据根据转数来确定，就是一个集合B，两者对应关系是：车轮周长×转数。

接着，教师继续提出问题：“大家考虑一下为什么要研究这些变量和它们之间的对应关系？”

学生D：“因为研究了它们之间的关系，我们知道一个变量就可以推导出另一个变量，比如，表2中，可以看出一条鱼的单价是14.98元，每天买鱼的花销就是14.98×鱼的重量。”

教师：“那么，如果我买了一条一斤的鱼，我说花了两份钱，一份是14.98，一份是21元，而且没有打折没有优惠没有特价，你们觉得可能吗？”

学生E：“不可能，如果外界条件不变的话，一条鱼的重量对应一个总价。”

1.3 探索和升华，将现实情境进行逻辑思考和归纳总结，上升到数学语言和数学思维上。教师带领学生回忆初中时学过的函数概念，在探讨的基础上对实例中的变量进行总结，并结合之前学过的数集的概念，将上述两个例子运用数学概念进行解读，实例中都涉及到两个非空数集，也都存在某种对应关系，而且根据讨论，一个变量的变化会引起另一个变量的变化，而且一个变量只对应唯一的另一个变量，那么用数集的概念来解释就是：非空数集A和B，存在某种对应关系，A中的任意一个变量X，在B中都有唯一的一个变量与之对应。

在函数中对应关系用y来表示，函数的形式可以表示为：y=f(x)，数集A为定义域，其中的任意x，在对应关系下都会产生一个唯一的y，即：

方向性：A→B，(非空数集)

对应关系：y；

关键词：x(任意一个)，y(唯一确定)

注意：A→B中，A中的任意一个数，B都有唯一一个确定的数与之对应，而B中的变量在A中对应变量可以不唯一。

2.教学案例的研究和反思

2.1 教学过程解读。高中函数的概念是在初中函数概念的基础上发展和延伸的，但本质上是一个新概念的产生，在起始课上教师可以用大量案例让学生感受新概念对应的现实生活情境，并通过案例中的对应关系感受数学概念中的对应关系，对于学生理解函数中的对应关系帮助较大。在感受和理解变量之间的对应关系之后，教师要引导学生将看到的观察到的真实案例进行提炼，这个过程也是概念形成的过程，学生参与其中就能明白函数的概念是怎么来的，是基于大量现实情境，用已经掌握的数学概念描述客观事物的数量关系，再经过抽象思维的处理形成新的数学概念[2]。

2.2 反思。函数起始课教学中，重点应当是让学生理解变量之间的对应关系，关键词是对应关系，而经过起始课教学后，部分学生的学习重点却放在变量上面。所以在教学中，教师可以通过不同的图表、表格和计算公式联系所举的实例，结合学生学过的知识，让学生在新的情境下感受两个变量之间的对应关系，不至于教学中出现重点偏移的现象。