丰富习题内涵培养推理能力——一道《多边形内角和》习题的改编与实施

丁玉成

培养推理能力是数学教学的重要目标之一。学生的推理能力主要表现在能通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、条理地表达思考过程，做到言之有理、落笔有据；能在与他人交流的过程中运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程，因此推理能力的培养应贯穿于数学教学的全过程。

“巩固基础知识，提高基本技能，发展数学思考力”是练习所承载的基本任务与功能。课后习题作为教材为我们提供的练习素材利用率是最高的，如果教师在精心研读习题、理解编者意图的情况下，挖掘习题资源，创造性地将习题进行补充、延伸、拓展，用足用好习题，将能使习题功能最大化。

【原题分析】

教材第70 页练习十六第4 题，以统计表形式将图形、边数、内角和编排在一起，让学生仿照示例，从一个顶点出发放射性地连线，依次求出几种多边形的内角和。通过求出的结果，发现边数和内角和之间的关系，获得合情推理的经验。

学生在《四边形内角和》一课的“做一做”中已经想办法求过六边形内角和，他们会将求四边形内角和中用过的分割法迁移到六边形上，分成已经证明了内角和的三角形或正方形求出六边形内角和，但方法各异。因此我对不同分割情况进行归类、对比分析，达成共识，为探究多边形内角和做好准备。

通过以上分析，学生已经具备了独立探究“多边形内角和”的能力。我认为这道题有可挖掘的空间，为了最大限度地开发学生的推理能力，我将习题进行改编：从七边形扩展到十边形，更有利于学生发现边数与内角和之间的相差关系，为他们的合情推理提供素材上的准备；追加几个要求，能丰富习题的内涵。改变后的题作为后置性探究作业让学生在A4纸上把想法以图文结合的形式大胆地表现出来。

【习题改编】

1.分一分、算一算，每个图形的内角和是多少？

2.你发现了什么规律？如果发现了规律，你能计算50 边形、102 边形的内角和吗？

3.你能总结出多边形内角和的计算方法吗？多边形内角和=_______________________。

【作品反馈】

●反馈一：发现怎么算？

师：我发现你的作业中九边形和十边形都没有进行分割，把你的理由跟大家说说好吗？

生：图形画太多线看不清，我们就要用规律了。通过分割前面几个图形，我发现多边形划分出的三角形永远比这个图形的边数少2。

师：之前我们从横向发现规律，多边形每多一边，三角形个数也会增加一个。现在这个规律是怎么观察到的？

生：上下看的。

师：哪位同学介绍一下这个规律？

生：五边形分成了3 个三角形，5-3=2；六边形分成了4 个三角形，6-4=2；七边形分成了5 个三角形，7-5=2。说明几边形都与分成的三角形个数相差2。因此50 边形内角和就是48×180°=8640°，102 边形内角和是100×180°=18000°。

师：为什么你举了三个例子？如果继续举例会有一样的结果吗？

生：因为举了三个例子以后发现都是差2，以此类推，其他图形肯定也是差2 了。

师：你这个“以此类推”是什么意思？

生：算了几个后就不用再算了，我也是抽几个算了一下，然后就以此类推了。

师：这个“此”指的是什么？

生：就是我举的那几个例子。

师：如果我想多举些例子，能举几个？

生：无数个。

师：能找到一个图形边数与分成的三角形个数不是差2 的例子吗？

生：找不到。

师：原来通过我们算的多边形中边数与分成三角形个数之间的关系，就可以推出边数更多的多边形的内角和。不知不觉中，我们已经归纳出了多边形内角和的求法了，多边形的内角和=（边数-2）×180°。

●反馈二：知道为什么这么算？

作品1

作品2

作品3

师：你们知道多边形内角和为什么这么算吗？

生：（作品1）我是用画图证明的，五边形边数和分出的三角形差2，所以边数要减2。

师：我们通过这个规律来发现多边形内角和的算法，现在要解释为什么，再用这个规律还是没有找到本质原因。还有别的解释吗？

生：（出示作品2）我给每个多边形分三角形，出发的那个顶点不能向相邻两个点连线，就是我圈着的点，所以是“边数-2”。

生：你这是在算连线条数还是三角形个数呢？出发的点跟其他点连线，除了旁边两个点没连，出发点本身也不能算，那连线的条数应该是“边数-3”。

师：确实应该搞清这个问题，大家先独立想想这个问题，然后小组交流一下。

生：分割的线确实比边数少3，但三角形个数又比分割线多1。比如五边形的分割线是2 条，分成了3 个三角形；六边形分割线3 条，分成4 个三角形……

师：这位同学从另一个角度来解释，大家听一听。

生：（作品3）大家看我的图，多边形分出的三角形除了最两侧的两个三角形，中间的三角形都有原来多边形的一条边，而最两侧的两个三角形却各占了多边形的两条边，所以得各去掉一条边，多占的两条边去掉后，每个三角形就对应着一条边了。那么三角形个数就是边数减2。

师：这个解释将三角形与多边形的边一一对应。其实两位同学都说明了边数为什么比三角形数多2的道理，而第二种解释更能令大家接受。

【编辑点评】

1.“发现怎么算”——培养归纳推理能力。

学生通过计算填表、观察、比较、分析、综合，归纳出多边形内角和的计算方法，是一个从个别到一般的归纳推理过程。学生解决“发现怎么算”的过程就是一个过程清楚的简化版不完全归纳推理，将此作品呈现、介绍给全体学生，能将隐含的推理思想明朗化。教师提出的针对性问题“为什么你举三个例子？如果继续举例会有一样的结果吗？”“以此类推是什么意思？‘此’代表什么？”“一直举例能举几个？”能引导学生知道通过几个例子可以发现一些规律，所举的例子个数在有限的情况下，也要尽可能多一些、全面一些，结论就会可靠些。这整个“发现怎么算”的过程就是培养学生合情推理能力的过程。

2.“知道为什么这么算”——培养演绎推理能力。

通过归纳推理得到的结果如果能挖掘本质，揭示其内在原因，可以使学生知其然且知其所以然，使结论更加可靠令人信服。教师借助少数几个学生思考的成果推动整个班级的学生积极思考，这是有价值和意义的。两位学生以各自不同的理由配合直观图示说明了为什么边数与三角形数相差2 的本质，虽然只是极个别学生的发现，但其他学生通过倾听、复述，逐渐明白本质，将归纳推理得到的结论以讲道理的科学验证法进行演绎推理，两种推理交织在一起，使学生在发现规律、验证规律中积累更加丰富的推理经验。