分数阶时滞微分方程的随机平均法

郭蓉

(太原科技大学 应用科学学院,山西 太原 030024)

0 引言

分数阶微积分最早可以追溯到Leibniz发明微积分的年代,和整数阶微积分有着同样悠久的研究历史。由于在材料科学、力学、信号处理和系统辨识等实际应用领域中表现出来的广泛应用,分数阶微分方程俨然已经成为一个重要的研究领域,越来越多的学者开始重视分数阶微分方程的研究。

众所周知,滞后现象不可避免地出现在随机动力系统中,也就是说事物的发展趋势既依赖于当前的状态,还依赖于过去的历史。分数阶时滞微分方程是一类重要的微分方程,很多学者对分数阶时滞系统进行了研究[1-3]。 时滞的存在可能使系统变的性能更差甚至不稳定,这种情况更贴合实际。文献[4-10]表明,用具有时滞的分数阶微分方程能更准确地描述自然现象的变化规律。Bhalekar和Daftardar-Gejji讨论了分数阶时滞的Liu-系统混沌效应[11],Wang等研究了分数阶时滞金融系统[12],Yan和Kou给出了HIV病毒传播的分数阶时滞微分模型及其稳定性[13]。

我们知道, 动力系统的响应研究是非线性系统研究的一个中心问题, 至今形成的研究方法有摄动法、多尺度法、等效线性化法及随机平均法等, 其中随机平均法是一种较为常用并且很重要的近似分析方法。 Xu[14-15]和他的合作者依据随机平均原理, 研究了列维噪声、泊松过程、分数布朗运动激励下随机动力系统响应的性质, 为之后的研究做了很好的理论基础。

本文在Riemann-Liouville型分数阶积分和导数的意义下,研究分数阶时滞微分方程的随机平均原理,证明了原系统在一定条件下与平均后的系统是均方收敛和依概率收敛的, 并通过一个例子验证了定理的合理性。

1 分数阶微积分

关于分数阶微积分有很多种定义方式,常用的导数定义有Riemann-Liouville型分数阶微分和积分、Caputo型分数阶微分。本文研究在Riemann-Liouville型下的分数阶时滞微分方程。

定义1[16]对任意α∈(0,1),a

其中Γ(·)是Gamma函数。

由这个积分定义,我们把经典的微分算子与分数阶积分算子复合就得到下面的Riemann-Liouville型分数阶导数的定义。

定义2[16]对任意α∈(0,1),a

2 分数阶时滞微分方程的随机平均法

开始研究之前,先给出一个引理,定义关于(dt)α的积分。

引理[17]g(t)是一个连续函数,那么当0<α≤1时,g(t)关于(dt)α的积分定义为:

考虑如下形式的分数阶时滞随机微分方程:

根据引理,我们研究的分数阶时滞随机微分方程可变形为:

(1)

现在,假设方程(1)的各个系数满足以下条件:

(H1)σ1和σ2是可测函数,σi(t,x)关于x是可微的(i=1,2), 存在某些常数0<γ,δ≤1,对每个N≥0,存在MN≥0有如下性质成立:

(C1)对所有的x,y∈Rd,0≤t≤T,有

|σ1(t,x)-σ1(t,y)|2+|σ2(t,x)-σ2(t,y)|2≤L1|x-y|2.

(C2) ∀|x|,|y|≤N,∀t∈[0,T],对每个i=1,…,d,有

|∂xiσj(t,x)-∂yiσj(t,y)|≤MN|x-y|δ,j=1,2 .

(H2)b:[0,T]×C(-τ,T;Rd)→Rd是可测函数,对每个t>0,h∈C(-τ,T;Rd),b(t,h)只依赖{h(s);-τ

此外,存在b0∈Lρ(0,T;Rd) (ρ≥2),∀N≥0，LN>0成立:

(C3)∀x,y,‖x‖∞(τ)≤N, ‖y‖∞(τ)≤N,其中‖f‖∞(τ)=sups∈[-τ,T]|f(s)|,

|b(t,x)-b(t,y)|2≤LNsup-τ≤s≤t|x(s)-y(s)|2,∀t∈[0,T].

(C4) |b(t,x)|≤L0sup-τ≤s≤t|x(s)|+b0(t),∀t∈[0,T].

(H3)线性增长条件:对所有x∈Rd,0≤t≤T,存在常数L2>0使得

|b(t,x)|2+|σ1(t,x)|2+|σ2(t,x)|2≤L2(1+|x|2) .

Benchohra和Yaghoub[18-19]已证明,假设(H1-H3)是分数阶时滞随机微分方程解的存在唯一性需满足的条件。

利用随机平均法,我们得到方程(1)平均后的方程:

(2)

此外,我们假设系数满足下面的附加不等式:

显然,在类似方程(1)相同的条件下,方程(2)也有唯一解Zε(t).

定理1 假设原始方程(1)和平均后方程(2)都满足条件(H1)-(H3)。给定任意小的数δ1>0,存在L>0,ε1∈(0,ε0]和β∈(0,1),对任意的ε∈(0,ε1],当t∈[0,Lε-β(1-2ε)]时,都有如下关系式成立:

证明 方程(1)与方程(2)作差,

(3)

其中[0,t]⊆[0,u]⊆[0,T],Ii,i=1,2,3,4.

现在分别讨论I1,I2,I3,I4.

两边同时取期望,利用基本不等式,有

利用(C3),(C5)以及Young不等式,得到

(4)

关于I2,取期望,利用基本不等式,

根据假设条件(C6)得到,

于是,

(5)

对于I3,根据假设条件(C1),(C6)和基本不等式,我们有

那么有

(6)

对于I4,

利用基本不等式,(C1),(C7), 有

(7)

于是我们根据(4)-(7)可得,

根据Gronwall-Bellman不等式,

选择β∈(0,1),L>0, 对于所有的t∈[0,Lε-β(1-2ε)]⊆[0,T],有

其中K5是个常数,

K5=2(K1+2K2+64K3+2KαK4(Lε-β(1-2ε))2α-1)×

exp[2Lε1-β(2K+66L1+2KL1,α(Lε-β(1-2ε))2α-1+1)].

因此, 对任意的数δ1>0,选择ε1∈(0,ε0],对每个ε∈(0,ε1],t∈[0,Lε-β(1-2ε)],有

证毕。

定理2 假设方程(1)和(2)满足定理1的条件, 那么对任意的δ2>0, 存在L>0及β∈(0,1),成立

证明 在定理1的基础上,运用Chebyshev-Markov不等式,对任意给定的δ2>0,可以得到

令ε→0即得证。

注:定理1 表明原始方程与平均后方程的解在一定意义下是均方收敛的;定理2 表明在一定意义下它们的解是依概率收敛的。

3 例子

考虑如下分数阶时滞随机微分方程:

(8)

初始值为Xε(t)=t+1,t∈[-1,0],其中a,b是常数,B(t)是布朗运动。显然,

b(t,Xε(t))=asin2tXε(t),σ1(t,Xε(t-1))=bXε(t-1),σ2(t,Xε(t-1))=Xε(t-1),

令

定义新的平均方程

(9)

我们可以看到方程(8)和(9)中的各个系数都满足条件(H1)-(H3),所以定理1和定理2都成立,即当ε→0,成立

及Xε(t)→Zε(t)依概率收敛。