数列在购买彩票中的应用

安徽省合肥北城中学 冯水松

众所周知，数列是数学知识中的一个重要环节，以具体问题为基础，进行答案的解析是数列学习中的一个重要部分，这就注定了数列是以解决实际问题为目的而存在的。数列在经济生活和资源计算等领域，有着广泛的使用，本文将举例阐述数列在彩票方面的应用情况。

一、购买彩票能致富吗

购买彩票在人们的日常生活中经常遇到。概率论中有一个十分有趣的定律，在一次公平的游戏中（赢输的可能性各为0.5），任意一个游戏参与者都有可能会赢，谁赢了都是偶然的，但只要游戏一直进行下去，参与者输个精光却是必然的，这个定律又称赌徒输光定律。下面，我们用数列的方法来简单证明一下这个定律。

这第二个式子相当于数n 有50%的机会变成n-1，50%的机会变成n+1。那么变换一下相当于

设T1的值为a，那么显然0 ＜a ≤1，利用：

T1=a，T2=2a-1，T3=2(2a-1)-a=3a-2，

T4=4a-3，…，Tn=na-n+1=(a-1)n+1，

我们知道0 ≤Tn≤1 对于任意的n 恒成立，所以a 必须为1。

所以我们证明了T1=1，同样的过程可以得到T2=1，…，Tn=1。

这说明，即使在公平的博彩游戏（赢输的可能性各为0.5）中，彩民输光的可能是1，证毕。

这样，我们得到了一个有点反直觉的结论：不管你的资金有多么雄厚，你用的可能性购买彩票，必然会输光。这也就是人们说的“久赌必输”。某些彩民会一次押多于1 单位的量，认为这可以赢，但是不难看出来，这样只是改变了这些彩民购买彩票的方式，只要这个游戏属于都是的可能性，最后彩民总是要输得精光的。

二、倍投方法

倍投方法多用于公平的博彩游戏中，指的就是在前一次输了的情况下，再次投入前一次两倍的资金进行游戏。在资金足够多的情况下，这样成倍成倍地投入进去，只要是公平的游戏，总有机会赢，且一次就可以将前面所有输了的钱赢回来。

设某一个彩民的初始资金为a 元，在公平的游戏中（赢输的可能性各为0.5），为便于讨论，我们假设彩票的结果只有两种，如购买大小，红黑，球队的胜负等。有什么方法保证彩民能赢钱呢？

有彩民这样认为：把初始资金a 元按如下方式投注：1 元、2 元、4 元、8 元、16 元、32 元、64 元……然后先押1 元，输了的话，就押2 元，再输，就押4 元……这样一直下去，根据等比数列求和知识可以知道，只要能赢一次，就相当于把以前输过的钱全部赢回来并且还能赢得1 元。之后再重新开始：1 元、2 元、4 元……这样循环往复，每次就都能赚1 元了。

到底这个策略行不行呢？注意到1+2+4+…+2n-1=2n-1。

假如彩民在连续输了n 次之后，仍然有2n 元的资金进行第（n+1）有效可行的操作规范呢？再次让学生讨论交流，经过集体讨论发现，把的规定稍作修改，再增加一个步骤，变为增加了第三步的一个变形，学生的操作就方便了。这个变化过程从第一步到第三步可以概括为：底数变倒数，负指数变正指数。即底数a变为a 的倒数指数-p 变为p，这里有两个变化，一是底数的变化，直接变倒数，学生容易操作，二是指数的变化，负指数直接变正指数，学生也容易操作。两个变化一起使用，学生的困难就解决了。掌握了这个规律后，学生再做这类的题目，正确率一下子提高了许多。