带有Robin边界条件的分数阶q -差分方程的Lyapunov型不等式

陈祉睿， 侯成敏

( 延边大学 理学院， 吉林 延吉 133002 )

0 引言

(*)

这里1<α≤2,q∈[0,1),f∶[0,1]→R是连续函数.

1 预备知识

定义1[4]f在[a,b]上连续，q∈[0,1)， 定义f(t)一阶q-差分为

性质1对于任意的t,s∈[a,b], 下列等式成立：

引理1已知f在[a,b]上连续，假设对于任意的q∈[0,1), 有aDqf(t)≤0 (aDqf(t)≥0)，a

由此得出f(y)≤f(x),引理1得证.

引理2[7]f和g是[a,b]上的连续函数，则：

2 主要结果及其证明

为方便引入如下记号：

h2(t,s)=1+t.

(1)

(2)

(3)

因此

引理5得证.

引理6对于任意的(t,s)∈[0,1]×(0,1), 下式成立:

(4)

证明1)显然，当0≤t≤s≤1时，有0≤h2(t,s)≤2.

下面证明[tDqh1(t,s)]t→s+<0, 即:

(1-qs)(α-1)+[α-1]q(1-qs)(α-2)<3[α-1]q(s-qs)(α-2),

(1-qs)(α-1)<3[α-1]qsα-2(1-q)(α-2)-[α-1]q(1-qs)(α-2).

(5)

因为(1-qs)(α-1)关于s递减，故有(1-q)(α-1)≤(1-qs)(α-1)≤1.又因为(1-qs)(α-2)关于s递增，故有1≤(1-qs)(α-2)≤(1-q)(α-2).若使式(5)成立，只要满足下式即可:

1<3[α-1]qsα-2(1-q)(α-2)-[α-1]q(1-q)(α-2).

又因为sα-2关于s递增，故有sα-2≥1.因此，若使式(5)成立，需满足下式:

1<3[α-1]q(1-q)(α-2)-[α-1]q(1-q)(α-2)=2[α-1]q(1-q)(α-2)=

固定区间(0,1)上的点s. 当t∈[s,1]时，有

令a*=(1-2[α-1]q)q1-α, 以下分两种情况讨论.

(Ⅰ)如果a*≤0, 则1-2[α-1]q≤0 ⟺ 1+q-2qα-1≥0且

(Ⅱ)如果0

i)若a*≤s<1， 有1-2[α-1]q≤qα-1s, 且

同理，可以得出h1(1,s)≤h1(t,s)≤h1(s,s)≤2.由1-2[α-1]q≤qα-1s得

2(1-qα-1s+[α-1]q)-3(1-qα-1s)=qα-1s-(1-2[α-1]q)≥qα-1s-qα-1s=0,

即h1(1,s)≥0.因此0≤h1(t,s)≤2.

ii)若0

|h1(t*,s)|≤max{-h1(t*,s),2}.

(6)

观察tDqh1(t,s)|t=t*=0 ⟺ 3[α-1]q(t*-qs)(α-2)=(1-qs)(α-1)+[α-1]q(1-qs)(α-2)，可知

定理1如果方程(*)有一个非平凡的连续解，那么