☉安徽省滁州市第二中学 张广庆
每一道试题都是有源头的,我们在解题时只要能突破“背景”,构造出合适的基本图形和数量关系,问题就易于解决了.下面以一道模考试题为例,谈谈我的一些粗浅见解,与广大同行共勉.
已知梯形ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3.
(1)如图1,P为AB边上一点,以PD、PC为边作平行四边形PCQD,请问:对角线PQ、DC的长能否相等?为什么?
图1
图2
(2)如图1,若P为AB边上任意一点,以PD、PC为边作平行四边形PCQD,请问:对角线PQ的长是否存在最小值?如果存在,请求出最小值;如果不存在,请说明理由.
(3)如图2,若P为AB边上任意一点,延长PD到E,使DE=PD,再以PE、PC为边作平行四边形PCQE,请探究对角线PQ的长是否存在最小值.如果存在,请求出最小值;如果不存在,请说明理由.
(4)如图3,若P为DC边上任意一点,延长PA到E,使AE=nPA(n为常数),以PE、PB为边作平行四边形PBQE,请探究对角线PQ的长是否存在最小值.如果存在,请求出最小值;如果不存在,请说明理由.
图3
在解决问题时,首先应弄清问题的背景,获取相关信息;然后基于背景的相关知识展开联想,对信息进行处理、加工,抽象出相关的基本图形和对应的数量关系,从而获得解决问题的路径.
对于问题(1),结合图形和条件,发现直接说明对角线PQ、DC的长能否相等,感到无从下手,我们不妨从结论出发:假设对角线PQ、DC的长相等,则平行四边形PCQD就会成为矩形,从而得到∠DPC=90°.(即当∠DPC=90°时,PQ=DC)现在的问题就是:∠DPC能否等于90°?若∠DPC=90°,一个基本图形——凹槽型(如图4)浮现出来了.(图中的两个直角三角形相似)
设PB=x,则AP=2-x.
图4
则x2-2x+3=0.而b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0,所以此方程无实数解.
所以假设不成立,即对角线PQ、DC的长不可能相等.
点评:由凹槽型相似,能得到对应边成比例,对应角相等.特别地,当有一组对应边相等时,两个三角形全等.此类图形对于解决一些涉及边的数量关系的复杂图形的题目时有着“柳暗花明又一村”的功效.
对于问题(2),设PQ与CD相交于点O.由平行四边形PCQD,可得PQ与CD互相平分于点O,即PQ=2OP(O为定点).要求PQ的最小值,可转化为求OP的最小值.其实际背景就是:定点O与定线段AB上任意一点连接的线段中,哪一条线段最短?这样易联想到一个数量关系“垂线段最短”.
图5
如图5,根据垂线段最短,过CD的中点O作OP⊥AB,垂足为P,延长PO至点Q,使OQ=OP,连接PC、CQ、QD、DP,则四边形PCQD为平行四边形,PQ为所求.
因为AB⊥BC,OP⊥AB,所以PO∥BC.而点O为CD的中点,由平行线分线段成比例定理,得点P为AB的中点,从而OP为梯形ABCD的中位线,则又AD=1,BC=3,所以OP=2,从而得到PQ的最小值为4.
对于问题(3),给出以下两种解法:
解法1:由DE=PD,易联想到三角形的中位线的基本图形,过点E作AD的平行线交BA的延长线于点M.由于定值),易联想到在BC的延长线上补上一段与ME等长的线段CN,这样可把平行四边形PEQC放到以BM、BN为邻边的矩形BNHM中,说明点Q始终在线段HN上运动,联想到一个数量关系“两平行线间的距离最短”(如图6).
图6
图7
则NC=2AD=2.
所以BN=BC+CN=5.
当PQ⊥AB时,PQ最短.此时有矩形PQNB.则PQ=BN=5.
换一个角度,这道题也可以利用二次函数求最值来解决.
解法2:观察图形发现,随着AP长的变化,PQ的长也在变化,它们之间有没有联系呢?又如何将这些分散的线段集中起来呢?便想到构造一个以PQ为斜边的直角三角形,利用勾股定理表示出PQ,从而利用函数模型求PQ的最值.
如图7,作QN⊥AB于点N,作QM⊥BC,交BC的延长线于点M.则有矩形BNQM.设AP=x,则BP=2-x,其中x的取值范围是0≤x≤2.
对于问题(4),有了解决问题(3)的经验,可以模仿求解,但值得一提的是,PQ不可能与CD垂直,所以采用函数模型求解比较好.(应注意变量PM的取值范围为0≤x≤2)
如图8,设PM=x,则NH=MC=x,AO=2-x,PO=BM=3-x.
由△APO △QBH,可 得 QH=(n+1)(2-x),BH=(n+1)(3-x).
图8
因为a=2(n+2)2>0,所以当时,PQ2随x的增大而减小.
点评:求线段最值的常用方法:(1)利用性质求最值,如“两点之间线段最短”“垂线段最短”“两平行线间的距离最短”;(2)利用函数模型求最值;(3)利用图形变换求最值……这些方法可以使复杂的问题情境数学化,数学模型便跃然纸上,思路便豁然开朗.罗增儒教授在《解题信息论》一文中指出,数学解题需要:“捕捉信息——弄清题意;提取信息——从“存储机构”中提取出本问题有关的性质、类型(基本模式)……加工信息——将相关信息结合起来,进行加工、重组与再生……”等五个过程.也就是说,拿到一道题,我们应先辨别是否属于已经掌握的类型,如果属于,那就提取出该类型来解答;如果不直接属于,那就进行适当的变化……在日常教学中,我们应指导学生首先弄清问题背景,让他们学会在纷繁复杂的背景中抽象出“模式图形”和“数量关系”,最终实现“有效转化”,探索出解题途径.W