☉江苏省昆山市正仪中学 金洁霞
折叠问题是初中数学考查的重点和难点,这类问题能够较好地考查学生对轴对称图形性质与规律的学习水平,这类问题对学生的观察、动手和综合应用方面的能力要求高.正因如此,折叠问题一直得到命题专家的青睐,成为各类初中数学考试的热点问题.本文以一道典型折叠问题及其变式为探究载体,重点剖析其内在本质规律,探究其思维路径,体现“异曲同工,万变归宗”的数学哲学之美,旨在抛砖引玉,以期引起教育同仁的进一步思考与探究.
案例:如图1所示,矩形ABCD中,AB=6,BC=9,E、F分别是AD和BC上任意两点,线段EF将矩形分成左右两部分,先将右部分沿着EF折叠,恰好使得C点落至AB边上的C′点处,且AC′=BC′,D点变为D′,连接C′D′交AE于M点,试求AM的长度.
思维路径:Rt△MAC′中只有AC′=3可直接得出,而直接在Rt△MAC′中利用勾股定理或三角关系求解AM的长度所需条件不够,需考虑构建与其他三角形的关系求解. 据折叠原理和几何图形关系得:FC′⊥MC′,FC′=FC,则Rt△FBC′Rt△C′AM,即在Rt△FBC′中,运用勾股定理可求出BF=4,则
图1
图2
变式1——改变折叠背景
题目:如图2所示,正方形ABCD的边长为6,E、F分别是AD和BC上任意两点,线段EF将矩形分成左右两部分,先将右部分沿着EF折叠,恰好使得D点落至AB边上的D′点处,且AD′=BD′,C点变为C′,连接C′D′交BF于M点,试求Rt△D′BM的周长.
思维路径:变式1用正方形代替原矩形作为折叠背景,求周长代替求边长.但从数学对象的基本关系的本质看没有新的变化,因此仍然由勾股定理求AE和ED′,再用Rt△D′BM Rt△EAD′求D′M和BM,最终可求Rt△D′BM的周长.
变式2——改变折叠对应点
题目:如图3所示,矩形ABCD中,AD=12,CD=18,E、F分别是AB和CD上两点,将矩形沿着EF折叠,C点落于A点,B点落至B′点,试求S△AEF的值.
思维路径:据题意可知只需求出AE的长度即可得这一面积.据折叠原理可知AF=CF,AB′=BC=12,由几何关系可知△ADF AB′E,即AE=AF.在Rt△ADF中,运用勾股定理得AF=13,则12=78.
图3
图4
变式3——改变折叠对应边
题目:如图4所示,矩形ABCD中,AB=2,E、F分别为矩形ABCD中AD和CD的中点,现将△ABE沿着折痕BE进行折叠,点A恰好落至BF上的A′点,试求AD的长度.
思维路径:根据矩形性质,AD=BC.根据折叠性质,可得A′B=AB=2,△EDF △EA′F,即则BF=A′B+A′F=3.在Rt△BCF中,根据勾股定理,可得
案例及变式的“归宗”分析:在以上案例及变式中,其形式可以是千变万化的,但是其命题立意与问题解决的源流可以归宗为折叠变化的基本关系——全等关系、对称关系;而折叠背景则提供了具体的数量计算路径.因此,这类折叠问题为同源同宗的衍生问题.
1.立足基本数学关系,奠定折叠问题解决的基础
(1)重视几何关系作为解决折叠问题的直接工具作用.首先,要重视几何关系的梳理与教学:几何图形的折叠属于轴对称现象,关于折痕对称的两个图形中对应线段长度相等、对应的两个角度相等,初中数学折叠问题往往建立在“平行四边形、矩形和正方形”等背景之上,在处理此类折叠问题时应该弄清折叠的背景,解题过程中灵活运用其对应的性质.
折叠问题中求解线段长度、角度大小、几何图形的周长等问题,往往涉及三角形相关知识:直角三角形中的勾股定理、直角三角形中两个锐角互余,等腰、等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,平行线性质、中位线性质、角平分线性质、垂线定义等.解决实际问题时存在一定的内在规律:对于直角三角形中的长度求解,可以利用勾股定理,对于一般三角形中的边长,可以利用全等或相似的手段进行求解.
(2)以数学思想的教学提升折叠问题教学的价值.折叠问题在平面、空间、直线上的数量关系,往往涉及较丰富的代数关系,函数思想、方程思想等数学思想,可以借助折叠问题背景进行渗透式教学,从而可设计归宗于折叠但不拘泥于折叠的教学处理,提升折叠问题教学的数学教育价值.如上述典型案例中的化归思想体现在:AM长度的求解,借助Rt△FBC′Rt△C′AM进行间接求解;方程思想体现在:案例分析过程中BF长度的求解,将BF作为未知量,运用勾股定理构建方程进行求解.
数学解题离不开数学思想的理论指导,数学思想的灵活运用,有助于学生迅速探寻数学解题的思路,有助于学生获得有效解题方法的灵感.对于初中数学教师而言,在解题教学实践中,摆脱“就题论题、机械讲解方法”等传统教学方式的束缚.实践表明,数学思想是数学解题教学的“内功”支撑点,离开数学思想的数学解题教学,必定是“肤浅、表面”的数学教学,不利于学生数学解题能力的提升,不利于学生数学学科核心素养的提升.
2.构造折叠问题实例,提升学生数学素养
众所周知,恰当的实例可以为学生问题解决过程的尝试与素养形成提供练手.因此,教师需要发挥教学智慧构造实例,充分展示处理折叠问题的具体思想与方法.
实例:如图5所示,矩形ABCD中,AB=3,BC=5,E为CD边上任意一点,若以BE为折痕,将△BCE进行折叠,C点落至AD上的F点,试求线段CE的长度.
图5
解析:根据折叠性质可知BF=BC=5,EF=CE,在Rt△ABE中假设CE=EF=x,则DE=3-x.DF=AD-AF=5-4=1.在Rt△EDF中,根据勾股定理,可得即即
点评:本题是以矩形为背景的折叠问题,解题中主要体现折叠性质、勾股定理、转化思想、方程思想的灵活运用,解题过程清晰、简练.
数学的形式千变万化,而对其进行溯源,往往不同形式出于一宗.因此,数学教学有必要深度挖掘教学素材的数学源流,力求教学过程贯通规律探究与思维形成训练.初中数学折叠问题中,不管问题形式如何变化多端,只需要准确抓住折叠问题的“宗”——折叠的本质(轴对称的性质),引导学生有机融合相关的数学知识和数学思想方法,使其达到举一反三的学习效果,对难题能有自己的数学思想与解决方法,进而促进初中学生数学素养的不断提升.