浅谈有理数中动点问题的解题策略

摘 要：数轴为中学数学学习数形结合的第一次运用，在整个中学数学教学中有着极其重要的地位，本文重点针对动点问题，给出利用数轴解决动点问题的一些常见方法，以启发学生遇到问题时能灵活地借助数轴解决问题。

关键词：动点；数轴；距离；绝对值

有理数是学生进入初中的第一章内容，重要性不言而喻，数轴是进入初中以后学生首次接触到的数形结合的知识点，灵活性大，还常常为我们解决问题带来很大的便利，这一章内容丰富，其中动点问题是难点，常需要利用数轴，数形结合解决问题。初一的动点问题包括了单个动点和多个动点问题，在解决方法上存在区别与联系。

类型一：单个动点问题。单个动点在数轴上运动，可以采取分类讨论的方式分析动点的位置，结合距离公式和绝对值化简的方法解决问题。

如问题1：当代数式|x+1|+|x-2|取最小值時，相应的x的取值范围是 。当代数式|x+1|+|x-2|值为8时，x的值为 。

首先，这一问题的理论基础是数轴上两点之间的距离公式。其次，分析两个绝对值的和的问题，绝对值化简本身是代数问题，但是对于初一的学生来说，在第一章就进行分类讨论难度较大，因此我们将这个问题看成是一动点到两定点的距离之和最小，这样只要分析数轴上动点的运动情况。数轴上的两个点将数轴分成三个部分，分析动点分别在这三段上时到两定点的距离之和变化情况，可以知道当点运动到这两个定点之间时到这两个定点的距离之和最小，最小值就是这两定点之间的距离；当点运动到两定点的左侧或右侧时，距离之和可以为大于最小值的任一值。再次，问题更加深入，研究两个绝对值的和等于一个常数时的情况，我们有了前面分析点的运动情况的基础，可以比较轻松地得出当点位于两定点左侧或右侧时，距离之和为8。

通过这个问题，我们还可以更加深入地探讨距离问题，比如将到两个定点距离之和为定值的问题变为到三个定点距离之和为定值的问题：

在数轴上依次有A，B，C三点，其中点A，C表示的数分别为-2，5，且BC=6AB。在数轴上是否存在点

P，P到A，B，C的距离之和等于10？若存在，求点P对应的数；若不存在，请说明理由。

有了前面分析的基础，我们可以进一步引导学生思考，数轴上的三个点将数轴分为几个部分，将动点分为几种情况进行分类讨论，在授课时，将这样同种类型的问题进行类比讨论，在课堂上开展活动，强化初中类比和分类讨论的思想，激发学生探究的积极性，也更利于学生及时理解和消化这一知识点。

类型二：多个动点问题。多个动点在数轴上运动，可以直接利用距离公式解决相应问题。

如问题2：已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，-8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从点A出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为

点M的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位。

（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距54个单位？

（2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？

方法一：几何法分析动点运动位置变化情况，再分类讨论。（1）分析动点运动的情况，在数轴上标出不同情况下两点，可以看出两点只能是点M在点N的右边。设经过x秒点M与点N相距54个单位。依题意可列方程为2x+6x+14=54，解方程，得x=5。即经过5秒点M与点N相距54个单位。（2）位于最左侧的点N运动速度最快，其次是点M，点P速度最慢，因此点N先追上点P，再追上点M，若点P到点M和点N的距离相等，则分为点P位于点M和点N之间和点M和点N重合两种情况。设经过x秒点P到点M，N的距离相等。（2t+6）-t=（6t-8）-t或（2t+6）-t=t-（6t-8），解得t=72或t=13，即经过72或13秒点P到点M，N的距离相等。

方法二：代数法分别表示各动点所在位置，利用距离公式直接解决问题。用含t的式子分别表示点M，点N，点P的位置，第一问中，无论两点中哪一个在左边，列式：|（6+2t）-（-8-6t）|=54，只要t的值为正数就可以。第二问中，表示M，N，P三点的位置分别为6+2t，-8+6t，t，再根据题目要求的点P到点M，N的距离相等，列式：|t-（6+2t）|=|6-（-8+6t）|，求出t的值即可。第二种方法利用两点间的距离公式直接列式，避免了分类讨论的过程，不容易漏解，当然，这一方法的难点在于绝对值方程的解法有一定难度。

通过这一问题的分析，我们可以看出初中解决问题的一般方法。第一、要有数学的建模思想。动点问题是学生进入初中后的一个难点问题，之所以难，是因为我们解决问题的思路和途径不同于小学时的处理办法，初中更加注重能力和数学素养的培养，遇到问题，需要更多的思考与分析，这是什么类型的问题，这就是一个初步的数学建模的思想。数轴是初中学习中第一个数形结合的知识点，打好这个基础，才能更好更顺利地学习后面的平面直角坐标系、函数等问题，更重要的是，我们需要培养学生良好的数学学习习惯，借助数轴能让我们更好地理解运动问题，随着初中学习的深入，充分利用数轴，熟悉绝对值的相关概念，是我们走好中学数学学习第一步的关键。第二、类比转化的思想。问题中并没有出现数轴，从形式上看是一个行程问题，我们当然可以用小学的算术方法去解决，但比较难理解，分类情况也比较烦琐，这时候我们可以自己建构数轴，将代数问题转化为几何问题解决。第三、要有分类讨论思想。这也是和小学数学学习的一个很大的区别，我们在小学时，算术方法往往是只注重结果，不注重过程，所以适合一些相对情况单一的问题，分类思想的出现打开了学生的思路和眼界，解决问题不再局限于一种情况，可以很好培养学生全面思维的能力，考虑问题

更加完整周密，培养学生思维的完善性，完整性，培养学生的数学学习习惯。

动点问题虽然只是我们初中第一章当中的一类问题，但研究这类问题的方法可以对我们整个初中数学学习产生影响，在授课时不满足于讲解题目本身，而是更深入地挖掘解决问题的方法，可以对学生的数学学习起到促进作用。

参考文献：

[1]李全法.初中函数教学策略初探[J].教育教学论坛，2013（50）.

作者简介：吕雯雯，江苏省南通市，江苏省南通田家炳中学。