数形结合在中学数学中的应用探究

摘 要：数形结合思想在我们中学数学学习中是具有重要位置的，几乎贯穿着我们学习数学的整个过程。运用数形结合思想可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而能够在做题中达到事半功倍的效果。

关键词：集合；函数；解不等式；概率统计

一、 数形结合在集合中的应用

集合的基本运算包括交、并、补，在解决这类运算问题时我们经常用到数形结合的思想，其形式有数轴、坐标系、韦恩图等。此类图形能够使集合问题变得简单明了易于解决。

例：设集合S={x|（x-2）（x-3）≥0}，T={x|x>0}，则S∩T= 。（2016课标Ⅲ）

分析：S={x|（x-2）（x-3）≥0}={x|x≤2或x≥3}，在数轴上表示出集合S，T，如图所示：

通过不等式的求解，可得集合S，在数轴上表示出集合S和集合T，然后在数轴上可以直观地得到S∩T的结果=（0，2]∪[3，+∞）。

二、 数形结合在函数方面的应用

数形结合与函数结合，一般就是先作出数量关系所对应的函数图像，然后根据图像进行分析，进而解决问题。

例：如图，函数f（x）的图像为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是 。

分析：此类函数题是较为简单的一类题型，我们只需令y=log2（x+1），并作出该函数的图像即可，如图：

其中函数f（x）与y=log2（x+1）的图像交点为D（1，1），结合图像可知f（x）≥log2（x+1）的解集为{x|-1

三、 数形结合思想在解不等式方面的应用

数形结合思想在解不等式方面的应用就是要对不等式进行变形，化为最简不等式的同时并结合图像对问题进行研究，能够起到化繁为简的作用。

例：若x∈R，函数f（x）=2mx2-2（4-m）x+1与g（x）=mx的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是为 。（2018湖南湘东4月联考）

分析：本题属于需要讨论的复杂问题，故在做题时应先作图，然后结合图像进行讨论，如图所示：

当m<0且x趋于+∞时，函数f（x）=2mx2-2（4-m）x+1与函数g（x）=mx的值均为负值，不符合题意。当m=0时，g（x）=0，f（x）=-8x+1，当x≥18时，f（x）≤mx的值均为负值，不符合题意。当m>0時，可知f（x）的图像的对称轴为x=4-m2m，f（0）=1>0，当4-m2m≥0，即04，要满足题意。需要f（x）的图像在x轴上方，如图2所示，则4-m2m<0，Δ=4（4-m）2-8m=4（m-8）（m-2）<0，则4

四、 数形结合思想在概率与统计方面的应用

数形结合思想在概率与统计方面的应用主要是根据各个事件画出相应的图像，并从图像中能够直观地观察出整个事件的概率。

例：从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）。（2016课标Ⅱ）

分析：本题较为抽象，我们可利用数形结合思想根据题意建立一个数学图形进而直观化。如图：

数对（xi，yi）（i=1，2，…，n）表示的点数在边长为1的正方形OABC内（包括边界），两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆（阴影部分）内，则由几何概型的概率公式可得mn=14π12π=4mn。

作者简介：

蓝俊旭，广东省潮州市，韩山师范学院。