尾坐式飞行器增益调度控制器设计和比较

杨 硕 杨柳庆 张 勇 郭 锦

(1.南京航空航天大学 自动化学院，南京 210016；2.南京航空航天大学 无人机研究院，长空科技集团，南京 210016)

1 引 言

尾坐式飞行器的由于其特殊的起降方式，使得其控制器设计与传统固定翼飞机存在一定差异，控制器设计的挑战主要是在于垂直起飞和水平飞行之间的过渡段控制器设计。因为飞行转换过程中的大范围非线性段的剧烈变动，单一的控制器难以做到有效控制。

在尾坐式垂直起降的过渡转换控制策略上，可以将整个过程视作一个动态的非线性模型，通过分别使用总能量控制达到缓慢平稳的跟踪响应[2～4]。T-wing尾坐式飞行器针对其数学建模，以及其动态方程进行反馈线性化，设计线性控制器[5]。在以普通单旋翼固定翼飞行器为对象，研究并设计这种飞行器在垂直起飞和垂平过渡这两个阶段的数学模型和控制器设计，分别以LQR和H∞进行控制器的设计和验证[6,7]。文献8中，作者针对尾坐式飞行的垂平过渡过程，对其数学模型进行了二维平面的简化，推导出了一个简化的二维物理模型，并在此基础上开发了一个基于对飞行器高度和位置变化进行跟踪的过渡控制器[8]。文献9中，使用基于梯度的算法来产生一个转换过渡的最优轨迹，将转换飞行过渡过程建模为具有不同目标函数的最优控制问题[9]。文献10中，在控制器设计中使用了增益调度技术，针对飞行器转换过渡飞行过程中的工作点进行线性化分析，针对每个点设计LQR线性反馈控制律增益调度策略[10]。文献11中，针对LPV模型中包含的各个LTI对象使用变化的参数ρ来导出，针对LTI设计线性控制器，设计增益调度策略进行纵向过渡控制[11]。文献9～10的仿真由于使用的是基于模型的LQ调节策略对跟踪指令总是存在一定误差。

本文主要针对尾坐式飞行器处于过渡过程中的纵向模型进行研究，结合增益调度方法和LQR、H∞控制器设计其转换过渡过程的纵向控制器，同时讨论和研究尾坐式飞行器转换过程中的数学模型和转换策略。在基于增益调度的LQR和H∞控制器进行仿真验证。在更接近尾坐式飞行器物理特性的情况下进行控制器设计和验证。通过LQR的控制器和H∞控制器的对比实验，验证控制器的有效性和控制效果。

2 增益调度LQR控制器设计

根据飞行器模型提取其纵向运动学模型，进行过渡控制器设计。以机体坐标系作为参考，飞行器的纵向运动方程组表示如公式(1)所示。

(1)

式中:T——发动机推力;D——飞行器所受阻力;L——飞行器升力;M——俯仰力矩。

针对整个过度转换过程中大范围非线性过程，采用了基于多线性系统的增益调度技术，其主要过程为：

(1)在各个离散点配平线性化，建立其LPV模型。

(2)在每个点上，计算线性反馈控制器K。

(3)增益调度每个线性控制器。

对飞行器的纵向运动过程配平线性化并用状态空间矩阵表示，根据航迹倾斜角γ=ρ中，确定所有状态的初始条件和状态空间矩阵，可以创建一组状态空间模型[A(ρ),B(ρ),C(ρ),D(ρ)]，在每一个γ=ρ的点中，为了稳定控制系统，计算其控制器K(ρ)，以使系统在γ=ρ的所有取值范围内保持稳定控制。根据系统γ的变化，对所有控制器进行内插和排序，根据飞行器的航迹倾斜角对各个线性控制器进行选取。针对飞行器的纵向数学模型的控制问题，首先针对已有的的非线性数学模型利用小扰动原理将其线性化，可以得到飞行器在给定平衡点配平后LTI模型，根据配平得到的数学模型进行下一步的控制器设计工作。

线性二次型调节器控制技术(Linear Quadratic Reglator，简称LQR)问题是现代控制理论中的一个具有重要地位的问题。由于这种控制器的设计方法和控制性能指标易于处理和分析，在控制诸如小型飞行器，机器人，倒立摆等方面广为应用。尤其因为这种控制器因为在固定翼无人机和多轴飞行器上的广泛使用，同时还能达到良好的控制效果，使用LQR结合增益调度技术设计尾坐式飞行器的转换过渡飞行纵向控制器。

(2)

式中：Q——半正定矩阵;R——正定矩阵;x——状态变量;u——输入变量；积分项xTQx代表系统的控制精度，这一项的积分值越小，代表控制的精度越高；积分项uTRu这一项代表系统所消耗的控制能

量。在具体的设计时，首先分析飞行器纵向模型的几个参数，初步选取Q和R，通过计算得到反馈控制器K，验证其在对应参数的非线性模型中是否符合设计要求，如果符合则记录进对应参数的增益调度表1中，如果不符合则重新设计，直到完成选取的增益调度参数配平点的所有控制器设计完成后，将整个增益调度控制器代入飞行器纵向模型中进行转换过程的仿真验证。

针对飞行器的纵向数学模型的控制问题，首先针对已有的的非线性数学模型利用小扰动原理将其线性化，可以得到飞行器在给定平衡点配平后的小扰动线性化状态空间矩阵。

表1 过渡飞行切换配平工作点Tab.1 Transition flight switching trimming work point

以航迹角γ=0°的时候为例，根据相关气动参数带入非线性模型中进行数值仿真，通过使用matlab中自带的linmod()函数和trim()函数选取相应的配平点进行配平线性化操作，得到如下飞行器的纵向状态空间矩阵用以控制器设计参考。

在LQR控制器设计中同样使用matlab软件中的LQR()函数进行控制器设计，选取合适的Q、R和

飞行器纵向状态空间矩阵作为函数参数得到以下LQR控制器

同样的方式针对选取配平点进行配平线性化和设计控制器，并将控制器记录进增益调度表中，直到获得完整转换过程的增益调度控制器后完成设计。

3 增益调度H∞控制器设计

在此控制器的设计中，采用针对单通道回路进行控制器设计的方式，以达到更精确有效控制飞行航迹角的目的。针对已有的纵向模型进行解耦求的其航迹角通道的传递函数，进行H∞控制器的设计并验证。

H∞控制器的设计过程，首先讨论H∞标准设计问题，如图为标准控制系统结构图。

图1 标准控制系统结构图Fig.1 Standard control system structure

图中的传递函数矩阵G(s)的状态空间矩阵表示如公式(3)。

(3)

式中:x——状态向量；z——被控输出信号；y——量测输出信；u——控制信号；w——外部输入信号；图中的K(s)就是需要求取的控制器。表示同一个系统的传递函数可以用如下状态空间矩阵描述，即为公式(4)。

(4)

H∞标准控制问题的描述：通过设计有理控制器K(s)，使得增广被控对象G(s)稳定，同时使得闭环传递函数的H∞范数<1。为了保证系统的鲁棒性和系统性能，将问题转化为混合灵敏度问题进行求解。考虑如下所示反馈系统，根据混合灵敏度的设计思路，通过在频率域内选择合适的加权函数W1(s)、W2(s)和W3(s)，令闭环系统达到控制要求。如图2所示。

图2 混合灵敏度问题结构图Fig.2 Mixed sensitivity problem structure diagram

根据混合灵敏度问题定义的开环增广控制对象为公式(5)。

(5)

在混合灵敏度问题中求解各个LTI模型对应的控制器K(s)，令闭环系统稳定。再将各个离散点的LTI模型对应的控制器基于增益调度策略进行线性内插和排列，构成航迹角-升降舵通道的SISO控制器，以PI控制器作为空速通道控制器，构建过渡转换飞行控制，代入纵向模型中进行仿真验证。

此处仍旧以航迹角γ=0°的时候为例，将获得的纵向状态空间模型进行解耦，提取出其中的航迹角-升降舵通道，并以传递函数的形式表达如下

H∞控制器设计中使用了matlab软件中的hinfsyn()函数，选取加权函数W1(s)、W2(s)和W3(s)，对该通道的传递函数模型进行计算得到如下的H∞控制器

Ck=[-353558-160816178-346050397-28494330761868547728]

Dk=[0]

之后根据增益调度调度规则在转换过程的各个配平点不断重复此过程直到完成增益调度控制器的设计。

4 仿真分析

仿真数据从航迹角γ、俯仰角δ、俯仰角速度q、攻角α和空速v五个方面进行分析，阶跃信号下垂平过度验证仿真的结果如图3所示。

图3c 阶跃信号下俯仰角速度变化图 图3d 阶跃信号下攻角变化图Fig.3c Pitch angular velocity of step signal Fig.3d Attack angle of step signal

图3e 阶跃信号下空速变化图Fig.3e Space velocity of step signal

由图中结果可以看出，在以分段式的阶跃信号作为过渡指令进行仿真时，增益调度H∞控制器的对指令信号具有更快的动态响应性能，尽管存在一定超调量，但仍在可以接受的范围内，由此带来的是俯仰角，攻角，俯仰角速度的转换过程中会产生更剧烈的变化；增益调度LQR控制的动态响应较增益调度的H∞控制器稳定更慢，但是转换过程中的各项数据更为缓慢平衡，剧烈变化较少。在斜坡信号下的平垂过度仿真结果如图4所示。

在使用斜坡信号进行平垂过渡的仿真中，增益调度H∞控制器能够做到基本没有误差地跟踪航迹倾斜角指令，而增益调度LQR却会在转换过程中一直存在一个误差，直到垂直状态一会之后才消除；而在俯仰角，俯仰角速度，攻角这几项数据中，体现出的仍旧是增益调度H∞控制具有的更强动态特性。

图4a 斜坡信号下航迹角变化图 图4b 斜坡信号下俯仰角角变化图 Fig.4a Track angle of ramp signal Fig.4b Pitch angle of ramp sign

图4c 斜坡信号下俯仰角速度变化图 图4d 斜坡信号下攻角变化图Fig.4c Pitch signal of ramp signal Fig.4d Angle of attack of ramp signal

图4e 斜坡信号下空速变化图Fig.4e Airspeed of ramp signal

5 结束语

本文针对尾坐式无人飞行器的力和力矩产生机制进行分析，通过同时考虑空速和螺旋桨尾流同时作用产生的力矩建立尾坐式飞行器的数学模型，并在此基础上，解耦出其纵向动力学模型。并根据纵向动力学根据小扰动线性化原理，在选取的配平点上计算出LTI模型和LPV模型。通过已有的线性化模型，建立增益调度控制策略，在LQR控制器和H∞控制器的基础上建立尾坐式飞行器的纵向过渡转换控制器，并进行仿真验证。

仿真结果表明，基于增益调度控制策略的两种过渡转换控制器都能得到稳定的转换过渡效果，但是增益调度的LQR控制器是直接基于稳态问题的设计方式进行设计，没有根据其跟踪问题进行设计，在斜坡信号进行跟踪时会有跟踪误差存在，但仍旧能够稳定完成过渡转换。而使用SISO的增益调度H∞控制器进行转换就不存在更懂误差，且具有更好的动态特性和稳定性，与LQR比起来具有更好的控制效果。

虽然该方法的有效性得到验证，但仍然存在某些问题。 该方法可以得到一个稳定有效的过渡控制器，由于本文只使用数值模拟仿真，所以在应用时仍旧有必要对实际飞行器进行飞行测试。