一个线段最小值问题的解析及其拓展与应用

马先龙

摘要：对一个以等边三角形为背景的线段最小值问题进行解析，之后进行拓展，运用拓展所得的结论，能快速地求出相应问题中线段的最小值.

关键词：问题;解析;拓展;运用

在初三数学教学中，遇到一个以等边三角形为背景的线段最小值问题.解析之后，发现此问题可以进行拓展，运用拓展所得的结论，能快速地求出相应问题中线段的最小值.

1问题与解析

1.1问题

如图1，在等边OABC中，AB=4，点P是边BC上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点分别为点M、N，求线段MN的最小值.

1.2解析

分析如图1，直接求线段MN的最小值非常困难.连接AM、AP、AN.由题意，易知AM=AP=AN，∠MAN=120°，故AMN是顶角为120°的等腰三角形.易得MN=/3AM.于是MN=/3AP.由题意，易知AP≥2v3，从而，代入可得MN的最小值.

解如图1，因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC=∠ABC=60°.

连接AM、AP、AN，因为点P、M关于直线AB对称，所以AM=AP，∠MAB=∠BAP=2∠MAP;同理，AN=AP，∠NAC=∠CAP=二1∠NAP.

所以AM=AP=AN，∠MAN=LMAP+∠NAP=2∠BAP+2∠CAP=2∠BAC=120°.

过点A作AD⊥MN于点D，在OAMN中，因为AM=AN，AD⊥MN，所以∠MAD=2∠MAN=60°，MD=ND=-1MN，2

在Rt△AMD中，因为∠ADM=90°，∠MAD=60°，

所以∠AMD=30°.所以AD=-AM，MD=y

所以MD=113AP.所以MN=v3AP.

过点A作AP⊥BC于点P，则根据“垂线段最短”，当点P运动到点P时，线段AP的长最小.

在Rt△ABP中，易知AP=￥AB=x4=2/3，22

所以AP≥23.所以线段MN的最小值是6.

2拓展与应用

2.1拓展

在AABC中，AB=c，BC=a，CA=b，点P是边BC上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点分别为点M、N，则MNnin=2bcsin∠BACmina

证明（1）如图2，若∠BAC为锐角，连接AM、AP、AN，因为点P、M关于直线AB对称，所以AM=AP，∠MAB=∠PAB;同理AN=AP，∠NAC=∠PAC.

所以MN=2APsin∠BAC.

因为sin∠BAC为定值，故当AP⊥BC，即AP最短时，MN长最小

易知APmin=bcsin∠BAC

所以MNmin2bcsin2∠BAC

（2）如图3，若∠BAC为直角，易知MN=2AP.

此时APmire=0，所以MNan=_2bc

此时sin∠BAC=1，故M…=2besin∠BAC仍然成立.

（3）如图4，若LBAC为钝角，连接AM、AP、AN.因为点P、M关于直线AB对称，所以AM=AP，∠MAB=∠PAB;同理AN=AP，LNAC=∠PAC.

所以AM=AN，∠MAN=360°-2∠，BAC.

所以MN=2APsin∠BAC.

同样，当AP⊥BC时，AP最短，MN长最小.同（1），APmin=bcsin∠BACa

所以MNmin=52bcsin2∠BACmin

2.2应用

例1如图5，在AABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，点P是边BC上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点分别为点M、N，求线段MN的最小值.

解如图5，因为∠BAC=90°，AB=AC=3，所以BC=32

由拓畏所得的结论，知

MN.=‘2x3x3sin290°-=3、2.min3J2

所以线段MN的最小值是3、2.

例2如图6，在▲ABC中，LBAC=120°，AB=AC=4，点P是边BC上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点分别为点M、N，求线段MN的最小值.

解如图6，由条件，易得BC=2<4sin60°=4√3.由拓展所得的结论，知

MNmin2x4x4sin2120°=2/3.43

问题的拓展与问题的解决具有同樣的重要性[1]对问题进行拓展，可以引起更加广泛的思考，培养思维的广阔性与深刻性，提高数学应用能力.很明显，运用拓展所得的结论，可以快速地求出更多类似的问题中“连接两个对称点所得线段”的最小值，从而达到省时省力的目的.

参考文献：

[1]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2008.