基于教材的初中数学拓展性课程开发研究

章才岔 何萍

【摘 要】 调查本区域初中数学拓展性课程开发与实施情况，并对初中数学教科书中拓展性课程资源使用情况进行访谈.进行基于教材的初中数学拓展性课程开发与实施的实践研究，提炼基于教材的初中数学拓展性课程资源开发的途径和方法，形成基于教材的初中数学拓展性课程实施与评价策略，形成基于教材的初中数学拓展性课程开发范式和设计模式.

【关键词】 教科书资源;拓展性课程;开发;实施

1 研究背景与意义

1.1 课程开发：深化课程改革的重点工作

2015年浙江省教育厅出台《浙江省教育厅关于深化义务教育课程改革的指导意见》（以下简称《意见》），拓展性课程建设成为基层学校深化课改的重点工作之一[1].调查研究表明，我市学校在初中数学拓展性课程开发开设方面缺乏系统性、规范性，主要表现在缺乏明确的初中数学拓展性课程建设目标，初中数学教师缺乏开发隐性课程资源的意识与能力[2]，实施对象为部分学生，课程内容零散、随意，与基础性课程内容重复，缺乏相应的考核评价制度等.

1.2 资源问题：拓展性课程开发的核心问题

核心素养是当前国际教育研究的热点，也是中国新一轮课程深化改革的主要方向.拓展性课程资源的选择决定了该课程与核心素养内涵的切合程度.教科书中除了基础课程知识之外，还隐藏着大量的内隐性课程资源[2]P40.基于教材深度挖掘课程资源，明确数学学科在学生发展核心素养中的独特价值，探索培养学生核心素养的策略、方法和途径.

1.3 课程教育：教师和学生数学素养的培育需求

在抽样我市各县市602名教师进行拓展性课程开发与实施现状调查中，73.42%教师表示在开发拓展性课程时受到专业知识水平的制约.依据学生实际情况，探索我市初中数学拓展性课程的教育教学方式，有利于课题组教师正确认识课程的价值，完善自己的教学认识信念，提高我市骨干教师的专业知识水平.同时，结合课程设计和实践，初步构建初中数学拓展性课程体系，提炼开发与利用教材课程资源的基本方式，为一线教师开设拓展性课程提供范本和参考，促进教师更好地服务于学生数学素养的培育需求.

2 研究过程和方法

针对我市各校初中数学拓展性课程开发无系统、无主题、无评价的现状，课题组通过调查、行动研究与经验总结等研究方法，突破资源建设关键要素，着力解决组织保障、课程研发、师资培养三个重要命题，系统架构课程开发项目路径，形成基于教材，整体推进初中数学拓展性课程开发与实践研究的行动策略.

本课题先以深化义务教育课程改革行动研究项目方式推进，后申报课题立项继续深入研究，历时3年.首先，我们随机抽样调查我市初中数学拓展性课程开发与实施情况，并对初中数学教科书中拓展性课程资源使用情况进行进一步访谈，确定本研究的选题内容.接着，我们开展基于教材的拓展性课程资源开发的策略研究和实践研究，提炼基于教材的初中数学拓展性课程开发的途径和方法，形成课程实施与评价策略，汇总教学设计集和案例集，提炼成果，反思构想后续研究.

3 研究成果与经验

3.1 提炼基于教材的初中数学拓展性课程资源开发途径与方法

3.1.1 初中数学拓展性课程开发与实施情况调查及对策分析

为了全面了解初中数学拓展性课程开发与实施情况，客观分析拓展性课程的实施情况，依据《意见》，具体对拓展性课程观念的认识、课程资源、课程内容与评价三个方面对拓展性课程实施情况进行抽样调查，分析初中数学拓展性课程开发与实施实践以来这几个方面的转变及存在情况，提出相应的改进建议[2]P38.

根据初中数学拓展性课程开发与实施情况调查研究，归纳主要问题：（1）缺乏明确的

初中数学拓展性课程建设目标;（2）初中数学教师缺乏开发隐性课程资源的意识与能力;（3）初中数学拓展性课程开发处于經验层次、或浅层次的专业水平[2]P39.

作为区域科研部门，我们给出对策：深化拓展性课程的专题研究，通过开展课程开发与实施的行动研究，梳理区域拓展性课程开发的问题和典型经验，形成一些优秀的拓展性课程示例，提供拓展性课程开发的参照样本，加强拓展性课程开发不同对象的专题培训.

3.1.2 初中数学教科书中拓展性课程资源使用情况调查及对策分析

（1）“拓展性课程资源”的概念界定

研究中的拓展性课程资源是指《义务教育课程标准实验教科书·数学》（浙教版）中的“设计题、阅读材料、课题学习、探究活动”等内容，及潜藏于这些知识内容深层的隐性知识素材，统一称为“拓展性课程资源”[3].

（2）“拓展性课程资源”在教科书中的呈现和教育价值

从统计表可以看出，拓展性课程资源在教科书中占有一定的分量.如阅读与思考，即“阅读材料”等主要体现了数学的发展历程、数学在社会或其他学科中的广泛应用;信息技术应用，即“课题学习”“探究活动”“阅读材料”，主要体现了运用技术来解决数学问题或运用数学来解决其它学科的问题等;知识拓展，即“探究活动”、“阅读材料”、“设计题”，主要体现了数学知识有效拓展，丰富了数学知识的全面构建和理解;“设计题”以给学生布置实践探索性的活动为主……数学教育的核心价值是育人，义务教育阶段的数学教育除了培养学生的逻辑思维能力以外，重要的功能还有进一步完善个体的数学素养，并提高学生的综合素质.教科书中设置拓展性课程资源，使得提高学生的综合数学素养、认识数学的文化价值有了实实在在的载体，这是数学课程发展“以人为本”应然与必然结果.也正是因为有了这些内容，才使得义务教育数学教科书的价值更加丰富与饱满，更趋近于“促进人的整体发展”，而不仅仅是一本考试的参考书[3]P6.

（3）拓展性课程资源使用情况调查

通过访谈发现：教师对拓展性课程资源使用没有系统化，不重视拓展性课程资源的开发价值，根据考试需求或教学时间随意取舍，有些处理成课堂练习，或简单阅读，有些当成课外作业让学生自学.大部分教师认为拓展资源准备费时，且对拓展性课程的教学目标和定位比较迷茫.

作为区域科研部门，我们给出对策：进行基于教材的初中数学拓展性课程资源开发的策略研究，提炼基于教材的初中数学拓展性课程资源开发的途径与方法，提供拓展性课程资源开发的参照样本，引领教师在开发的过程中理解课程资源，培养教师课程开发能力.

3.1.3 基于教材的初中数学拓展性课程资源开发的理论研究及原则确定

（1）“实践模式”课程理论指出：师生都是课程的主体，教师在教学中对学生进行答疑，学生在课程学习中获得兴趣;课程开发应把学生置于研发中心;对于课程问题，需由多方代表组成的共同体并通过集体审议的方式来解决.

（2）“过程模式”课程理论指出：教师是课程开发的主体，学校是课程研发的中心;要在教育过程中体现课程的教育目的;教师在课程开发的过程中，应对课程开发的目的、内容、方法、技巧等进行探究性反思，以及时调整开发过程.

由此，我们确定了基于教材的初中数学拓展性课程资源开发原则：学科特色原则;着眼于每個学生的全面发展原则;开发形式的多元化原则[3]P6.课程内容的开发以培养学生数学核心素养为导向，涉及思维训练、数学文化、数学游戏、综合应用、操作实践等不同层面的素材内容，体现学段的教学要求，尊重学生的个体差异，适应不同层次的学生学习.

3.1.4 提炼基于教材的初中数学拓展性课程资源开发的途径与方法

（1）理解教材编排，明确课程目标

以浙教版初中数学教材为例，研究学科知识隐性课程资源，理解教材编排意图，关注拓展性课程资源的内容特点，为拓展课程开发提供新的途径，明确主要内容板块为“名人与数学”、“数学趣味活动”、“数学与信息技术”、“课本知识拓展”、“数学生活应用”;明确拓展性课程目标：了解数学知识产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神;通过数学游戏、活动、实践、操作等，提高学生综合素养和能力;利用计算机软件为学生创设数学实验室，支持和鼓励学生运用媒体技术学习数学、开展课题研究，提高自主学习能力和创新意识;通过教材知识的延伸和扩展，培养学生发现问题、解决问题的能力;通过处理实际问题，体会数学的应用价值，培养数学的应用意识[4].

（2）基于教材资源，拓展开发路径

路径一：欣赏名人事迹，体验数学文化

“体现数学的人文价值”是课程理念之一.数学文化融入数学课堂教学，是拓展性课程资源的重要组成部分，融合数学思想方法、学习数学的精神信念、价值观和审美这些要素是教学中必须开发和利用的.基于数学的人文价值，开发“名人与数学”板块，介绍数学家的生平事迹，传播数学思想、数学精神，从数学发展史中选择素材，让学生在承传经典数学文化中进行拓展学习.如《皮克公式》一节，就是以浙教版《格点多边形的面积计算》为载体，对格点多边形面积进行研究，使学生掌握皮克公式并能够运用皮克公式进行面积的计算.通过探索皮克公式，体验从特殊到一般，从简单到复杂的认知规律，学会把未知的问题转化为已知的问题，培养学生观察、分析、归纳、类比的能力，提升学生的数学应用意识，使学生学会用发展的眼光看待数学问题.

路径二：开辟趣味活动，拓展实践课程

数学活动是学生乐于接受且喜爱的学习方式之一，在活动中体验快乐，在活动中掌握知识.“数学趣味活动”板块展示了数学的神奇智慧和艺术般的魅力，学生能够在探索问题解决的过程中，体验数学之美、数学之博大精深，不断地激发学习数学的兴趣和探索求知的欲望，在实践探索中享受数学乐趣，在趣味活动中提升自我认识和实践能力.如《有趣的拼图》，借助方格纸，通过剪、拼几何图形，感受平移、旋转、轴对称等变换的应用，理解拼图前后变与不变的量，增强识图能力，发展几何直观，体验数形结合的妙用，促进团队合作精神.

路径三：依托信息技术，巧借方式迁移

《基础教育课程改革纲要（试行）》指出，促进信息技术与学科课程的整合，逐步实现教学内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式和师生互动方式的变革.开发“数学与信息技术”板块，支持和鼓励学生运用现代媒体技术，将数学学习、小课题研究相结合，体现数学的基础学科特性，渗透STEAM学科融合理念，使数学的学习变得更加活泼、有趣，更富有吸引力.如《探索函数y=ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系》一节，借助几何画板探索系数a，b，c与图象的关系，让学生自主、合作、探究，借用几何画板化抽象为直观，发展学生的实践动手能力，发展直观想象等核心素养.

路径四：立足知识拓展，改编内容开发

立足教材是拓展课程开发的基础，选择部分与教材拓展相关的内容，适当扩充数学学习范围，有利于满足不同个性的学生在数学上不同的学习需求.开发“课本知识拓展”板块，对将要进入普通高中学习的学生进行数学知识基础储备起到有效的补充.如《根式与指数幂的互化》，本节课是以根指数幂为载体，通过对根式与根指数幂的关系研究使学生掌握有关分数指数幂的简单计算，整个设计是建立在学生已有的认知的前提之下，通过对二次方根、三次方根的类比学习，获得n次方根及其性质，进而奠定了根式与指数幂互化的基础，这些拓展性的活动经历，需要学生进行猜想、验证、归纳，提高了学生的实践研究能力.根据以上指数的角度观察nan=a，引出nam=amn的规定，进而拓展幂的运算范围.整节课把国家课程与拓展课程有机结合，运用类比、转化等数学思想，培养了学生的能力，拓展了学生思维.

路径五：链接生活实际，发展应用能力

《义务教育数学课程标准（2011版）》中指出：“数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用.”在数学拓展性课程资源开发上，融生活于数学当中，让生活素材应用于拓展内容，有利于培养学生的问题解决能力.因此，“数学生活应用”板块也是丰富课程内容的一条有效路径.如《我家的水费》一节，就是建立在一次函数模型研究生活中的实际问题.在设计上，让学生通过看水表，水费单，了解家中用水量的情况，尽可能体现以学生实践操作型的探究学习为主线，以问题解决为突破口，强化知识的开发与吸收，增强学生心理体验与感受，从而达到教学内容的展开与学生心理结构相匹配的同构效应，培养学生的应用意识和数学建模等核心素养.

（3）配合教学进度，逐步生成实施

经过以上多元路径的开发，拓展性课程结构已初步具备，课题组已基本掌握了课程编制的目标、依据和注意点.配合教学进度实施，根据课堂实施情况，逐步根据生成适当调整，以保证课程资源更贴近学生的生活和学习实际.

3.2 形成基于教材的初中数学拓展性课程实施与评价策略

3.2.1 明确阶段培养目标，推进拓展课程的实施与培训

教师参与开发设计与实施课程计划，是实现拓展性课程实施的重要组成部分.明确阶段培养目标，对教师进行培训和培养，针对培养教师的“课程意识”“课程理念”“课程开发能力”“课程实施能力”及建立“课程的组织系统和评价系统”，邀请教研人员、课程专家、学科专家对教育资源、学生学习需求、教师专业等开展科学指导，有效地加强不同层次的教师培训，包括课程改革理念上的培训，学科的培训，教学方法与手段的培训，以及具体的教材与教学的培训，从而推进拓展课程的顺利实施.

3.2.2 注重整合区域资源，拓展课程实施的渠道与途径

初中数学拓展性课程的顺利推进要求整合各县区教研部门、各学校的丰富的教育资源，构建层次性、系统化的课程体系.为此，各县区、各学校充分发挥骨干教师的资源优势，参与拓展性课程编写与实施，或提供区域开发实施精品课程的经验，拓展课程实施的渠道与途径.

3.2.3 完善评价内容与方式，切实改进拓展课程评价

遵循基于核心素养的评价原则：“主导—主体”师生角色定位是评价关注的基础，核心素养能力培养是评价关注的主要内容，学生个性化发展是评价关注的特色所在，完善评价内容与方式，引导教师改变在教学方法、教学模式中偏重基本知识记忆和基本技能操练的现状，将课程教学转向发展学生学科核心素养的方向，编拟了“初中数学拓展课教学评价表”和“初中数学拓展课开发评价表”，逐步完善评价内容与方式.

3.3 形成基于教材的初中数学拓展性课程开发范式和课程内容体系

历经三年的开发与实践，我们探索了指向核心素养的初中数学拓展性课程资源开发模式和教学范式，构建了基于教材的初中数学拓展性课程内容体系和教学设计汇编，形成了课程開发设计模式（图1）和课程开发的基本范式.

课程开发基本范式案例：《探究一个三角形分割成两个等腰三角形的条件》

【内容简介】本课题是在学生动手操作的活动中探索三角形可以被分割成两个等腰三角的条件.属于知识拓展类的课程，适合浙教版八上第二章使用.

【教学目标】

（1）探索能被分割成两个等腰三角形的三角形特征的活动，经历猜想、验证、归纳过程，提高归纳能力，推理能力，进一步提升探究、质疑的意识和精神;（2）通过经历探索特殊三角形到一般三角形的过程，体验直观感受到理性分析的过程，体会分类、转化、类比、归纳的思想方法;（3）把数学实验和相关知识有机结合，增强学生综合运用知识的能力，拓宽数学知识面，提高数学学习的兴趣.

【重点、难点】探究一个三角形分割成两个等腰三角形的条件

【课前准备】

1.内容素材：

内容来源于《义务教育教科书·数学》（浙教版）八年级上册“2.4等腰三角形的判定定理”课后“探究活动”，原活动内容如下：“有甲、乙两个三角形.甲三角形的内角分别为10°，20°，150°;乙三角形的内角分别为80°，25°，75°.你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出各角的度数”.

2.活动形式：小组合作、动手操作

【教学过程】

环节一：提出问题

活动1：你能将30°的直角三角形分割成两个等腰三角形吗？（图2）

活动2：尝试运用刚才的分割方法，将图3的直角三角形分割为两个等腰三角形.

活动3：尝试运用刚才的分割方法，将下面的钝角三角形和锐角三角形分割为两个等腰三角形.（图4）

环节二：解决问题

活动4：请你设计一个三角形，使这个三角形可以被分割成两个等腰三角形.

活动5：验证猜想，三角形的一个角是另一个角的2倍时，三角形能被分割成两个等腰三角形吗？三角形的一个角是另一个角的3倍时，三角形能被分割成两个等腰三角形吗？画出图形并尝试进行分割验证.

归纳：我们得到怎样的三角形可以被分割成两个等腰三角形？

环节三：拓展应用

活动6：运用今天探索的结论，思考哪些等腰三角形可以被分割成两个等腰三角形？写出所有满足条件的等腰三角形.

环节四：回顾反思

活动7：通过今天的探究过程，你获得了哪些经验？

活动8：布置课后思考题，遵循上述思路，你能否提出一些继续研究的问题，并尝试解决.如有没有这样的一个三角形，它能分割成任意的n个等腰三角形？

【评价反思】

数学学习中，提出与解决数学问题的每一环节几乎都涉及到抽象、概括、归纳、演绎、分析、综合、内省等数学思维活动，这既是一种内隐的理性思维过程，也是一种数学探究活动.顺应学生思维发展，建立有逻辑递进关联的任务串，并通过活动递进，积累不同阶段的活动经验内容，引导学生比较、反思、交流，使浅层次的数学活动经验向较高层次的数学活动经验转化，提升数学直觉，内涵上直指数学素养，在实施过程中充满了生命力.

参考文献

[1]何萍，谢敏.初中数学微课程资源的开发与应用研究[J].中学数学杂志，2018（12）：5-8.

[2]何萍，章才岔.初中数学拓展性课程开发与实施情况调查研究[J].中学数学月刊，2018（11）：38-40.

[3]何萍.基于教材的初中数学拓展性课程资源开发的途径和方法[J].中学数学杂志，2018（10）：5-7.

[4]何萍，潘芳芳.初中数学拓展性微课程的实践研究[J].中学数学月刊，2018（6）：34-36.

作者简介 章才岔（1975—），男，浙江温州人，正高级教师，温州市教育教学研究院初中数学教研员，主要从事数学命题与命题研究.何萍（1975—），女，浙江温州人，中学高级教师，教育硕士，主要从事数学教育与初中数学教学研究.