漫谈数学中的反证法

马文博

【摘要】反证法在数学中是一种非常重要的证明方法，无论是在初等数学中还是在高等数学中都是极为常用的，學会什么是反证法和如何应用反证法这一重要的数学思想来证题是十分必要的.

【关键词】反证法;应用;数学思想

反证法在数学中是一种十分重要的数学证明方法，它同综合法与分析法一样，不但历史悠久，而且应用的范围也很广，它对数学命题的证明而言有着不可替代的作用.只有恰当地使用反证法，才能够化难为易，化不可能为可能.在初等数学和高等数学中反证法都是极为常用的.无论是数学中最基本的定理、性质，还是难度较大的世界名题，若应用反证法来进行证明，都能够收到最佳效果.我们可以毫不夸张地认为，如果数学中没有了反正法，只能是比较原始的数学，是不完整的.所以，对反证法的实质进行深刻的学习与理解，掌握应用反证法解题要领，对运用反证法来解决实际问题有着十分重要的意义.

一、反证法的由来及产生与背景

“……萨谢利读了欧几里得的《原本》后，让归谬法深深地吸引住了，……在《逻辑证明》这本书中，把归谬法用于平行公设的研究”，这里所说的归谬法就是我们所讲的反证法，也就说在《几何原本》中就出现反证法的运用了.[1]

有古希腊七贤之首之称的泰勒斯在公元前六世纪中期最早在数学中引入了数学证明思想，直到公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得才将数学证明更广泛的运用，而反证法（亦称归谬法）则是一种非常重要的数学证明方法，而且历史悠久，古希腊有许多数学家早已运用自如.近代英国数学家哈代曾经这样称赞的谈到，欧几里得对归谬法的喜爱，归谬法是数学家有力的武器，跟象棋博弈时牺牲一个棋子用来取得优势相比，反证法更为高明，数学家索性把全局拱手让予对方！[2]

二、什么是反证法

在证明一个命题时，如果反面着手思考，假设命题结论的反面是成立的，经过正确的推理分析得到与题中条件，定理等相矛盾，使命题的假设错误，间接地说明了结论的正面是正确的，这样的一种间接的证题方法就是归谬法，又称为反证法.[3]

（一）反证法的含义

一般地，在证明一个数学命题过程中，首先要假设命题结论的反面是成立的，即从命题结论的反面着手探究，通过一系列的推理分析得到同题中条件，已知定理，等相矛盾的结果，使得结论反面成立这个假设是错误的得以肯定，即间接地证明了结论的正面是成立的，这样的一种证题方法就被称之为反证法.

反证法的运用的关键就在于归谬，故反证法又被称之为归谬法.美国著名的教育家，数学家波利亚对这种证明方法做了一个很风趣的比喻：“归谬法是利用导出一个明显的谬误来证明假设不成立.归谬法是个数学过程，但它和讽刺家所爱好的做法—反话，有相似之处.反话，很明显的认同某个见解，但强调它并且过分强调它，直到产生一个明显的谬误.”[4]

（二）反证法的逻辑原理

反证法的逻辑基础从反证法的逻辑规律角度来看是排中律.就是指在同一思维推论过程中，如果出现两个结论相互矛盾，则只有一个为正确结论.简单地说就是要想证明此命题为假，就假设该命题为真，推出矛盾即可.

可知，论证命题A→B，只要从这个命题的否定出发，推出命题P与P两个矛盾命题即可.由此我们思考一个简单的问题，是否应用反证法时，所导出的结果一定是两个矛盾命题P与P的合取式.[5]

原理 若A，B为命题，0为永假命题，则A→BA∧B→ 0.

三、反证法的一般步骤

应用反证法来证明数学命题时的一般步骤如下：

（1）准确分析命题“若A则B”;

（2）作命题B相矛盾的假定命题B;

（3）根据A和B，进行推理，推出矛盾.

正确分析产生矛盾的原因，是由于开始所做的假定命题B不正确，即B成立，则间接可证.[6]

四、应用反证法需注意的问题

如果使用反证法从多个不一样的角度进行推理和分析一个命题，则能够推出不同性质的矛盾，据此可得到不同的证明方法，在这些不同的证明方法中，可以发现，有复杂的证明方法，也有简单快捷的证明方法，故在我们应用反证法证题的过程当中，应该学会根据命题本身的特点，选择适当的方法进行推理，也就是说在我们应用反证法证题的时候应该注意以下几点：一定要对结论进行正确的否定，这决定了能否正确运用反证法来证题，例“平面上的任意两条直线最多只能有一个交点”，那么它的否定命题为“平面上的任意两条直线最少存在两个交点”，一定要仔细周密的考查原命题的结论，若有很多种情况与原命题结论矛盾，需一一否定，决不能有所遗漏;添加和补充假设后要根据原题中的条件和假设后结论的否定形式出发进行推理，整个推理过程一定要完全正确，如若不然，即使推出矛盾，也无法说明假设错误，即原命题成立;推理过程中必须应用已知条件，不然无法推出矛盾或无法断定所推结论错误.[7]

虽然应用反证法证题十分方便，但是并不是所有的命题证明都是应用反证法更为好，任何方法都有它的适用范围，如果超范围使用就会出现解题错误，影响解题的正确率.也就是说有时直接法更为简单，也就是说当我们看到需要证明的命题时，首先要观察是否适合应用反证法，若适合，再正确巧妙地运用反证法，一步一步进行证明，若不适合，不能强用，反而累赘.若直接证明和应用反证法证明过程一样简单或复杂，则用哪种方法都可以.

【参考文献】

[1]段耀勇，杨朝明.反证法的历史沿革[J].河北廊坊武警学院报，2003（4）：86-88.

[2]段耀勇.从反证法的渊源透视反证法教学难问题[J].中国人民武装警察学院学报，2006（2）：147-151.