一节公开课的设计与思考

阮建 王巍 马潇筠

【摘要】本节课为椭圆复习课，一共有三道大题，每个大题有若干个小问题.每个问题都精心设计，由浅入深、由易到难、层层递进.几个大题采用变式的形式，考查了圆锥曲线的多种经典题型，复习几乎全部知识点.学生对变式训练很感兴趣，积极参与，课堂效果非常好.

【关键词】数学;椭圆;公开课

一、已知椭圆方程为x24+y21=1，过右焦点F2作x轴的垂线l.

1.求直線l的方程.

学生首先要判断焦点所在的位置，并利用a2=b2+c2求出椭圆方程的交点F2的坐标.考查了a，b，c之间的关系，还有焦点坐标公式.当直线和坐标轴垂直时，表达形式非常特别，学生比较容易弄混.通过这个问题，练习了直线方程的特殊形式.

2.求弦长|AB|的值.

直线与坐标轴垂直是非常特殊的一种情况.线段AF2，BF2的长度其实就是点的坐标的绝对值.这一个考点在高考试题中也是经常出现的.

3.求△ABF1的周长.

考查了椭圆的定义，到两个定点的距离的和为定值的点的轨迹.

4.求△ABF1的面积.

这个时候有两种方法，一种方法是把|AB|看作底，|F1F2|看作高.考查了焦距|F1F2|=2c.第二种方法是把三角形拆分成两个小三角形.S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2.小三角形的高就是点A，B的纵坐标的绝对值，即h=|y|.

二、椭圆方程x24+y21=1不变，让过右焦点F2的直线l的倾斜角变为60°.

1.求直线l的方程.

首先考查了公式k=tanα，以及特殊角的三角函数值.求出直线的斜率为3之后，还要利用直线的点斜式求出答案.y-y0=k（x-x0）是非常重要的一个考点.

2.求弦长|AB|的值.

求弦长的问题是非常重要的题型，要勤加练习，争取让大部分学生熟练掌握.把直线和曲线联立，是多种题型的必经之路，教师要重点强调.

|AB|=（1+k2）·（x1+x2）2-4x1x2.

3.求弦|AB|的中点坐标.

求弦中点的问题也是很经典的题目，也是要把直线和曲线联立.这一问学生还是能够快速解决的.韦达定理是经常出现的知识点，需要注意的是：有的学生容易把它和对称轴以及定点坐标公式混淆.

4.求△ABF1的周长.

这个问题考查学生对椭圆定义的理解程度，教师可以再进行提问：如果倾斜角再次变化，三角形的周长还是4a吗？无论直线的倾斜角度怎样变化，△ABF1的周长都是一个定值.l△ABF1=4a.

5.求△ABF1的面积.

学生要能发现把弦长|AB|看作是三角形的底边，第二小题已经求得弦长|AB|的值，只要再求出点F1到直线AB的距离d，这里考查了点到线的距离公式d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

三、椭圆方程x24+y21=1不变.让过右焦点F2的直线l与直线AF1的夹角是α，求S△AF1F2.

（1）α=90°

这种情况非常简单，学生能独立完成.

（2）α=60°

焦点三角形的面积问题也是经典题型，首先要利用余弦定理cosα=|AF1|2+|AF2|2-|F1F2|22|AF1||AF2|.然后采用构造的方法，|AF1|2+|AF2|2-|F1F2|2=（|AF1|+|AF2|）2-|F1F2|2-2|AF1||AF2|.|AF1|+|AF2|=2a，|F1F2|=2c，整理化简可以得出|AF1||AF2|的值.再利用三角形的面积公式S△AF1F2=12|AF1||AF2|sinα.

（3）α=120°

这一问采用的方法和上一问的方法相同，但是，有一个问题需要注意，120°的余弦值是个负值，这一点，学生很容易出错，教师要注意强调.