2007~2017年几何概型高考试题分析

程嵘 廖运章

【摘要】纵观近11年的数学高考试卷，可以发现，几何概型与其他知识点的交会是考查概率的一个方式.通过分析十余年几何概型高考试题的分布、知识、特点和科学性，对几何概型教学提出一些建议.

【关键词】概率;几何概型;数形结合

几何概型是2003年《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）的新增内容，与古典概型不同，其等可能基本事件为无限个.几何概型高考试题是渗透数学文化、发展学生数学核心素养的重要阵地.历经十余年的教学实践，人们逐渐认识和理解几何概型的课程、教学与评价定位，为更好地把握几何概型本质，促进几何概型的有效教学，本文拟对近11年几何概型高考试题予以分析，期望对几何概型教学有所裨益.

一、几何概型高考试题分析

（一）试题分布

几何概型高考试题首次出现在2007年海南省.据统计发现，2007～2017年高考数学试题，每年都有几何概型试题，且每份试卷至多有一道几何概型试题，题型主要以选择、填空题为主，只有2010年福建·理立体几何解答题涉及几何概型.近11年高考数学试题共有54道几何概型试题，其中有些省份文理同属一题（以下统计为2题），如图1所示，每年几何概型题在高考数学试题中所占的数量百分比，总体呈增长趋势，几何概型题越来越受到命题者的重视.

图1

（二）试题知识点分析

就数学内容而言，54道几何概型试题涉及长度、面积有关的问题，且常结合其他知识予以考查，例如，不等式（组）、定积分、复数等，重在考查学生的概念理解与综合应用.

从试题背景来看，有10道题具有一定的实际背景，这些背景包括：（1）向规定区域抛、撒、扔、投豆类等物品背景，如2011年湖南省·理15，这类试题通常图文并茂，且为二维图形，学生通过理解题意，将概率转化为计算面积之比即得答案;（2）建立通信站背景，如2013年陕西省·理5，此题计算所给图形面积与面积之比即可;（3）闪烁灯、上学背景，如2013年四川省·理9，试题并未给出图形，需根据题中所涉及两个事件进行作图，转化为求平面直角坐标系中图形面积之比;（4）等车、红绿灯背景，如2016年全國卷1·理4，试题亦未提供图形，需自行画图转化为求线段长度之比.

从涉及图形看，几何概型问题可转化为求线段长度、几何图形面积或体积之比，可知几何概型与图形有着密切的联系.54道几何概型高考试题有19道题是图文相结合的，其给出图形的原因可能为：（1）题设所需图形较难用文字描述，如2012年湖北省·文10中图形为较复杂的组合图形，试题给出图形较直观且便于计算面积;（2）命题者重在考查求图形面积，且该计算过程可能较复杂，如2014年福建省·理14，需用定积分计算阴影部分面积;（3）图形对题设条件进行补充，如2013年陕西省·理5，其图形标注了矩形区域的边长.其余未给出图形的试题，命题者可能考虑到作图相对较容易，或者希望考查学生的作图能力.

二、几何概型高考试题的命题特点

（一）渗透数学文化的考查

《2017年普通高考数学考试大纲》（以下简称《考纲》）明确提出在高考中增加对数学文化的考查，这说明结合高考数学考查数学文化已然开始实施.随着数学文化关注度的提升，高考对数学文化的考查也逐渐加强，2017年几何概型高考试题对数学文化进行了一次有意义的尝试.

解析 设正方形ABCD边长为2a（a>0），则圆的半径为a.由图形的对称性可知，图2黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半，其中正方形、圆的面积分别为4a2，a2π.由几何概型计算公式可知，此点取自黑色部分的概率为12a2π4a2=π8.

结合数学文化中的太极图来考查几何概型符合《考纲》新增要求.解题过程中引导学生发现图形的对称性，使学生进一步发展几何直观、数形结合的能力，增强运用图形解决问题的意识.本题不仅考查了数学文化，还体现了数学核心素养，是一道综合性题.

（二）试题与《课程标准》要求一致

《课程标准》对几何概型的要求为：了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义[1]，可知几何概型为随机模拟作铺垫.统计发现，共5道考查随机模拟的几何概型高考试题.

例2 （2016年全国卷2·理10）从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）.

解析 随机数对（xi，yi）（i=1，2，…，n）落在图3所示方格中，平方和小于1的点均落在阴影部分.由几何概型计算公式可知，点落在阴影部分的概率为14π1≈mn，可得π≈4mn.

通过随机模拟来考查几何概型符合《课程标准》要求.题设中的随机数对落在正方形内的概率与面积之比近似相等，从而得圆周率π的近似值.由上可知几何概型是为随机模拟所服务的.通过信息技术模拟得到概率，体现了信息技术与数学课程整合的意义，这也应是高中阶段几何概型课程的合理定位.

（三）图形是解决几何概型问题的重要因素

分析54道几何概型高考试题，不难发现解题的一般步骤为分析题意、根据题意作图、识别所作图形、使用图形进行计算，可以说图形是解决几何概型问题的重要因素，且历年几何概型高考试题图形有着一定的特点，下面对此予以分析.

与对称性有关的图形.题设所给的复杂组合图形面积计算较困难，而其对称性可简化阴影部分面积的计算过程.

（四）试题逐渐科学化

数学是一门严谨的学科，在命题过程中需注意试题的科学性.几何概型高考试题的题设所应注意的科学性为题目条件是否充分、用语是否准确等.剖析近11年几何概型高考试题发现，大部分试题的设计符合科学性，但部分试题的科学性仍值得商榷.

解析 （1）圆O、正方形EFGH的面积分别为π，2，由几何概型计算公式可知，随机扔一颗豆子落在正方形中概率为P（A）=2π;（2）略.

题设“将一颗豆子随机地扔到该圆内”易使读者产生疑惑，所求概率是现实概率还是数学概率？现实概率的计算需考虑许多现实因素，如本题中需考虑豆子的大小、扔豆子的角度等.若考虑以上因素，将超出高中所学知识范畴，需使用大学知识进行求解.如若该概率只是数学概率，则可忽略上述现实因素，但需作相应假设，如将豆子看成一个没有大小的质点，豆子最终必定落在圆O中，落在圆O中的任一点是等可能的，从而求得上述答案.

近11年的高考试题除例5外，还有5道试题存在上述科学性问题.为使试题符合科学性，命题者可对试题进行修改.以例5为例，提供两种修改方法.第一种方法是舍去实际背景，把“将一颗豆子随机地扔到该圆内”改为“在圆O中随机取一点A，求点A取自圆O内接正方形的概率”.第二种方法不舍去实际背景但需做出一些假设，把“将一颗豆子随机地扔到该圆内”改为“某人向圆内抛豆子，假定每次所扔豆子均落在圆内，落在圆内每个点都等可能，且不考虑扔豆子的角度”，这样较符合题目科学性.其余试题也可按上述方法进行修改来避免科学性问题.

科学性有待商榷的试题主要分布在2008，2011，2014这三个年份，而2015年至今的高考试题中并未出现科学性问题，说明几何概型高考试题渐趋科学化.

三、教学建议

《课程标准》要求学生对几何概型有初步的认识和体会，高考对该部分的考查难度相对较低，但学生对此内容的学习仍存在一定困难，主要原因是学生未掌握几何概型的实质，难以将题设条件转化为几何图形.为此提出以下教学建议.

（一）重视几何概型概念的教学

几何概型教学，教师首先应准确把握几何概型的《课程标准》要求（为概率模拟之需），不宜深挖、拓展其内容，也不提倡一味地按题型分类讲解与盲目训练.其次，教师应向学生解释清楚为什么要学习几何概型（引进几何概型的必要性），讲清几何概型的定义，并由此推证几何概型的计算公式，让学生体味几何概型建模的基本过程，理解几何概型的本质，使之知其然知其所以然.第三，通过对比古典概型，分清古典概型与几何概型的异同，帮助学生理解教材练习题，進而发展学生解决几何概型问题的基本素养.

（二）几何概型教学与信息技术相结合

几何画板、超级画板、GeoGebra等信息技术的动态演示有助于学生理解几何概型，也符合《课程标准》基本要求.一般的，随机模拟的几何概型问题均可引入信息技术予以处理.

一般的几何概型题目可转化为图形处理.学习此内容的初始，学生较难想象相应图形，教师可使用信息技术手段来帮助学生.

例6 在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ABC内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求|AM|<|AC|的概率.

此题可使用信息技术，如在几何画板中画等腰直角三角形ABC，度量线段AC长度后，以点A为圆心，线段AC的长度为半径作圆，圆与线段AB交于点N，则线段AC，AN的长度相等.让点M在线段AB上运动并度量线段AM的长度，与线段AN的长度相比较，得图8.由几何概型计算公式可知，所求概率为线段AN与线段AB长度的比值.[2]

本文对近11年几何概型高考试题进行研究，总结了试题的分布情况、命题特点，整理了信息技术在几何概型教学方面的应用，希望通过此研究帮助读者理清几何概型高考试题的考查特点.学习此内容时，我们应注重概念的理解和蕴含的数学思想方法，进而提高学生的数学核心素养.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]何建中.巧用几何画板演示几何概型[J].考试：高考数学版.2010（Z1）：100-102.

[3]张志勇.随机模拟方法在《几何画板》中的算法实现[J].中学数学月刊.2006（12）：12-14.