光学干涉式绝对重力仪参考测试高度研究

张 威， 艾 云， 郭 娟

(中国科学院 西安光学精密机械研究所，陕西 西安 710119)

0 引 言

～随着激光稳频技术和时间基准技术的发展，使用光学干涉方法测试绝对重力加速度成为主流,各国科学家研制了多种型号的光学干涉式绝对重力仪[1]。光学干涉式绝对重力仪基本原理是利用激光干涉方法测量真空环境中自由下落角锥棱镜运动轨迹，将其位移时间数据代入运动方程，计算绝对重力加速度最佳估值[2]。本文介绍自由落体数学模型，利用变分法确定测量高度，采用最小二乘法拟合等时间和等距离数据测量高度，并模拟数据测量高度误差，为光学干涉式绝对重力测试提供参考。

1 相关理论

1.1 自由下落运动数学模型

图1为光学干涉式绝对重力仪原理，稳频激光经分束器分为竖直向上的测试光束和水平向右的参考光束，测试光束分别经过真空腔中自由下落的落体棱镜和超低频垂直隔振系统中参考棱镜的反射后于分束器处与参考光束产生干涉，干涉信号经光电探测器转换接收并由高速数字化仪采集存储，利用存储数据与运动方程拟合计算绝对重力加速度[3]。由于落体棱镜在真空环境中自由下落，仅受自身重力作用，其下落速度会逐渐增大，产生的干涉条纹频率也逐渐增大。

图1 光学干涉式绝对重力仪原理

地球表面重力梯度随位置和高度不同而变化，绝对重力测试过程中，落体棱镜下落距离短，重力梯度变化可忽略，设重力梯度为常数γ。由于落体棱镜在真空环境中自由下落，只受重力作用，根据牛顿运动定律，其运动方程为

(1)

式中z为落体棱镜相对参考位置的位移，t为记录数据时刻起，落体棱镜的下落时间，g0为参考位置的重力加速度，z0为t=0时落体棱镜相对于参考位置的位移。式(1)的解为

(2)

当t=0时，式(2)满足初始条件

(3)

式中v0为落体棱镜的初始速度，将式(2)代入式(3)，可得

(4)

(5)

式(5)为自由下落运动方程，当假定重力梯度γ=0时，方程可简化为

(6)

绝对重力测试过程中，可分别用式(5)或式(6)进行拟合计算求解重力加速度估值。

1.2 参考测试高度

地球表面存在重力梯度，所测试重力加速度必须对应相应高度，即参考测试高度。如图2所示，利用光学干涉式绝对重力仪测试重力加速度，落体棱镜释放前期不稳定且速度较慢，在处理过程中一般舍去初始下落位移h0的位移时间数据[2,3]。当测试点重力梯度γ已知或可测时，将落体棱镜后续下落过程中的位移时间数据代入运动方程(5)，可拟合求解重力加速度g0，其为与起始点距离h0处的重力加速度，对应的参考测试高度为

href1=hinst-h0

(7)

式中hinst为绝对重力仪底部地面到落体棱镜释放点的距离。

图2 绝对重力仪参考测试高度

当测试点重力梯度未知或不可测时，可利用式(6)拟合求解重力加速度，由于式(6)的推导过程中，假定重力梯度为γ=0，拟合求出的重力加速度所对应的位置应位于开始位置和结束位置之间，假定其与开始拟合位置距离为有效高度heff，其拟合得出的重力加速度的参考高度为

href2=hinst-h0-heff

(8)

确定有效高度heff，便能得到所测重力加速度参考测量高度。相对于式(5)，利用式(6)拟合求解重力加速度时不需要测试点的重力梯度γ，在更多情况下被采用[4,5]。

2 利用变分法确定参考测试高度

由于利用式(5)拟合得到重力加速度的参考测试高度href1的计算非常简单，本文只讨论利用式(6)拟合时参考测试高度href2的计算。提出一种参考测试高度href2的计算方法，利用这种方法可以在不确定测试点重力梯度γ的情况下，得到参考高度的精确值，其误差小于1 mm。同时在公式推导过程中，考虑了初始位移及初始速度，且并未对其进行任何限制，因此，这个结果适用于任何利用最小二乘法求解重力加速度时参考测试高度的计算。

2.1 最小二乘拟合

使测量值z与拟合函数f(tn,ai)之间差的平方和最小

(9)

式中ai为拟合参数，χ2(ai)为最小二乘拟合函数，N为参与拟合的位移时间数据量。一般情况下，绝对重力仪测试过程中，参与拟合的数据分为等时间和等距离[3]数据，且数据量较大，可用积分形式将式(9)分别表示为

(10)

(11)

当不确定测试点重力梯度γ，利用式(6)拟合求解重力加速度，其参考测试高度为式(8)所示。为求有效高度heff，可将式(6)、式(5)中的z*和z分别作为上式中的z(t)和f(t,ai)代入最小二乘拟合函数，且使最小二乘函数取最小值。

2.2 等时间数据参考测试高度

当重力测试使用等时间数据时，将式(6)中的z*和式(5)的z代入式(10)，可得最小二乘函数

(12)

(13)

将式(12)代入式(13)，可得线性方程组

(14)

求解可得

(15)

(16)

式中s为落体棱镜下落总高度，则有效高度heff为

(17)

2.3 等距离数据参考测试高度

(18)

根据式(5)，将坐标原点设置在测试开始的位置，即z0=0，可得

(19)

将式(19)和式(6)的z*与式(5)的z代入式(11)，可得最小二乘函数

(20)

使式(20)取最小值，则必须满足

(21)

计算中舍去相对小量，可得

(22)

(23)

式中X1=28.0，X2=51.2，X3=30.6，X4=14.0,X5=0.5，Y1=56.0，Y2=84.0，Y3=33.6，Y4=2.8

由于计算中引入积分因子式(19)，等距离数据的参考测试高度式(23)相对于等时间数据参考高度式(17)更为复杂，但其仅由测试初始状态及测试时间确定。

3 仿真验证

图3 参考测试高度误差

图中，根据式(17)和式(23)所得参考测试误差随着拟合数据增多而降低，最后趋近于零。目前光学干涉式绝对重力仪的拟合数量都在1 000以上[2～4]，当拟合数据量为1 000时，上述参考测试高度计算误差分别为0.018 mm(等时间数据)和0.178 mm (等距离数据)，均小于Zumberge M A[6]和Niebauer T M[7]的计算结果。其中等距离数据误差相对较大，为式(23)推导过程中舍去相对小量所致[8]。

4 结 论

本文针对测试点重力梯度未知的情况，提出了重力测试过程中的参考测试高度的计算方法，通过严格的理论推导，得到了参考测试高度的解析公式。并利用仿真得到参考高度的计算误差小于1 mm，验证了公式结果精确有效，能应用于光学干涉式重力测量领域。