具有较少非中心共轭类数的有限群*

栾书静，余 航，何立国

(沈阳工业大学理学院数学系，辽宁 沈阳 110870)

设G是非交换有限群，bcl(G)是群G的最大共轭类长，S(G)是群G的基柱，即G的所有极小正规子群的积．群G的非中心共轭类对群G的结构有重要影响[1-4]．李美艳等[5]、温海风等[6]给出了群G的非中心共轭类数至多为5时群G的结构，VERA-LOPEZ A等[7-9]刻画了共轭类数不超过14时群G的结构.以此为基础，笔者拟给出非中心共轭类数介于6与9之间时群G的结构，以及非中心共轭类数是10且有可解基柱时群G的结构．文中的符号及术语除特别说明之外，与文献[7-8]一致．

证毕．

证明由不等式2zbcl(G)≤|G|≤z+nbcl(G)即可得．

定理1设n是群G的非中心共轭类数，若6≤n≤9，则G同构于下列群之一：

(1)当n=6，s≤12时，G≅C13×fC3，D22，C7×fC6，C13×fC4，C11×fC5，S5，A6，C2×D10，C5×λC4，C2×A4，GL(2,3)，SL(2,3)·C4，C3×λS3，C2×D8，C4×λC4，(C4×C2)×λ1C2或C8×λC2．

(5)当6≤n≤9，13≤s≤14时，非幂零群G包含在文献[9]的表1或表3中，幂零群G是27阶群或阶最大为128的2-群．

(6)当n=9，s=15时，G≅C3×D8或C3×Q8．

证明若n≤9，由引理1得s≤15，若s=15，由引理1得n≥9，因此n=9，z=6.由不等式2zbcl(G)≤|G|≤z+nbcl(G)，可得bcl(G)=2，|G|=24．根据文献[7-9]可得s≤14的有限群结构，而通过GAP计算可知z=6，n=9，24阶群中仅有群C3×D8或C3×Q8满足条件s=15.

证毕．

定理2设n是群G的非中心共轭类数，群G的基柱S(G)是可解的，若n=10，则G同构于下列群之一：

(1)当bcl(G)=2时，G=P×A，P是G的Sylow-2子群，A是交换群．

(3)当13≤s≤14时，非幂零群G包含在文献[9]的表1或表3中，幂零群G是2-群且阶最大为128．

(4)当s=15时，G≅C5×S3．

证毕．