任意树指标随机过程关于树指标非齐次马氏链随机转移概率调和平均的强偏差定理

(江苏大学理学院，镇江,212013)

1 引言

设T为局部有限无穷树, 选定任意一个顶点作为根点, 记为o. 设σ，τ(σ≠τ)是树上任意两个顶点, 如果σ在根o到顶点τ的唯一路径上, 则记为σ≤τ. 记|τ|为根o到顶点τ的距离(即连接根o与顶点τ路径的边数), 若|τ|=n， 则称τ位于树的第n层(参见图1). 记T(n)为从根o到第n层所有顶点的子图,Ln表示第n层所有顶点的集合. 记σ∧τ为同时满足σ∧τ≤τ和σ∧τ≤σ且离根o最远的顶点. 对任意一个顶点t(t≠o), 若t是使σ≤τ和|t|-|σ|=1同时成立的顶点, 则称σ为t的父代, 记为1t， 称t为1t的子代. 令XS={Xt,t∈S}，S⊂T，xS为XS的实现.

图1 树图

设{Xt,t∈T}是定义于概率空间(Ω,I,P)在G={1,2,…,N}上取值的树指标随机过程, 设{Xt,t∈T}在P下的分布为

P(XT(n)=xT(n))=p(xT(n)),xT(n)∈GT(n)，n≥0.

设Q是可测空间(Ω,I)上的另一概率测度，{Xt,t∈T}在Q下的分布为

Q(XT(n)=xT(n))=q(xT(n))>0，xT(n)∈GT(n).

定义1[4]设{Xt,t∈T}是定义于可测空间(Ω,I)在G={1,2,…,N}上取值的树指标随机过程,Q是(Ω,I)上一概率测度, 设

p=(p(x)>0,x∈G)

(1.1)

是G上的概率分布.

Pt=(Pt(y|x)>0),x,y∈G，

(1.2)

是G2上的一族转移矩阵. 如果对任意顶点t,σ

Q(Xt=y|X1t=x,t∧σ≤1t)=Q(Xt=y|X1t=x)=Pt(y|x),∀x,y∈G,

且

Q(Xo=x)=p(x),∀x∈G，

则称{Xt,t∈T}为在Q下具有初始分布(1.1)和转移矩阵族(1.2)的树指标G值非齐次马氏链.

定义2设P与Q是定义在(Ω,I)上的两个概率测度，称

为P相对于Q的样本散度率距离.

引理1[2](i)h(P|Q)≥0,P-a.e.

(ii) 如果{Xt,t∈T}在概率测度Q下是树指标非齐次马氏链，则有

此时,

(1.3)

引理2[2]设{Xt,t∈T}是可测空间(Ω，I)上的树指标随机过程，P与Q是其上的两个概率测度，其中{Xt,t∈T}在概率测度Q下是具有初始分布(1.1)和转移矩阵族(1.2)的树指标非齐次马氏链. 设h(P|Q)由(1.3)定义，{gt(x,y),t∈T}是定义在G2上的一族函数，c为非负常数, 令D(c)={ω:h(P|Q)≤c}. 假设存在α>0，对于任意i∈G，有

其中EQ表示由测度Q计算的数学期望. 设

(1.4)

则当0<β<α，0≤c≤β2Hαβ时，有

特别地，有

=0,P-a.e.ω∈D(0).

由此引理可得任意树指标随机过程关于树指标非齐次马氏链随机转移概率调和平均的强偏差定理.

强偏差定理是近几年概率论极限理论的研究内容之一. 刘文在[1]中首次提出并研究了强偏差定理(用不等式表示的强极限定理), 杨卫国在[2]中研究了任意树指标随机过程关于树指标非齐次马氏链的一类强偏差定理, 刘文[3]给出了有限非齐次马氏链随机转移概率调和平均的一个强极限定理, 石志岩和杨卫国[4]将文献[3]中结果推广到树指标上, 给出了树指标非齐次马氏链随机转移概率的强极限定理.

本文利用文献[2]中任意树指标随机过程关于树指标非齐次马氏链的一类强偏差定理, 给出了任意树指标随机过程关于树指标非齐次马氏链随机转移概率调和平均的强偏差定理，作为推论得到了石志岩和杨卫国[4]关于树指标非齐次马氏链随机转移概率调和平均的强极限定理.

2 主要结论及证明

定理1设{Xt,t∈T}是可测空间(Ω，I)上的树指标随机过程，P与Q是其上的两个概率测度，其中{Xt,t∈T}在概率测度Q下是具有初始分布(1.1)和转移矩阵族(1.2)的树指标非齐次马氏链. 设h(P|Q)由(1.3)定义,c为非负常数,

D(c)={ω:h(P|Q)≤c} ，

0

(2.1)

设存在α>0，使

(2.2)

则当0<β<α，0≤c≤β2Hαβ时，有

其中Hαβ由(1.4)定义. 特别地, 有

证明在引理2中令gt(x,y)=Pt(y|x)-1. 由于

EQ[Pt(Xt|X1t)-1|X1t]=∑j∈GPt(j|X1t)-1Pt(j|X1t)=N,

及∀i∈G，有

由引理2知，当0<β<α，0≤c≤β2Hαβ时，有

特别地, 有

定理证毕.

推论1[4]设{Xt,t∈T}在概率测度P下是具有初始分布(1.1)和转移矩阵族(1.2)的树指标非齐次马氏链。设at如(2.1)定义, 如果(2.2)成立, 则

证明在定理1中取测度P≡Q. 注意到这时D(0)=Ω，由定理1即可得本推论.